Perhatikan gambar berikut.(0,4) B P(x, y) A (8,0)Qambar

a. L(x) = 4x - (1/2)x^2, b. Luas maksimum = 8, c. P = (4, 2).

Pembahasan

Diberikan sebuah persegi panjang OAPB dengan titik O(0,0), A(8,0), B(0,4), dan P(x, y). Titik P(x, y) terletak pada garis x + 2y = 8.

a. **Menentukan L sebagai fungsi x:**
Luas persegi panjang OAPB adalah hasil kali panjang OA dan lebar OB. Namun, karena P(x,y) terletak pada garis, maka lebar persegi panjang adalah koordinat y dari P, dan panjangnya adalah koordinat x dari P. Jadi, panjang = x dan lebar = y.
Luas L = panjang × lebar = x × y.
Karena P(x, y) terletak pada garis x + 2y = 8, kita bisa mengekspresikan y dalam bentuk x:
2y = 8 - x
y = (8 - x) / 2
Substitusikan ekspresi y ini ke dalam rumus luas:
L(x) = x * [(8 - x) / 2]
L(x) = (8x - x^2) / 2
L(x) = 4x - (1/2)x^2

b. **Mencari luas maksimum:**
Luas L(x) = 4x - (1/2)x^2 adalah fungsi kuadrat yang terbuka ke bawah (karena koefisien x^2 negatif). Luas maksimum terjadi pada titik puncak.
Koordinat x dari titik puncak parabola L(x) = ax^2 + bx + c adalah x = -b / (2a).
Dalam kasus ini, a = -1/2 dan b = 4.
 x_puncak = -4 / (2 * (-1/2))
 x_puncak = -4 / (-1)
 x_puncak = 4
Untuk mencari luas maksimum, substitusikan nilai x = 4 ke dalam fungsi L(x):
L(4) = 4(4) - (1/2)(4)^2
L(4) = 16 - (1/2)(16)
L(4) = 16 - 8
L(4) = 8
Jadi, luas maksimum persegi panjang itu adalah 8.

c. **Menentukan koordinat titik P agar luas maksimum:**
Kita sudah menemukan bahwa luas maksimum terjadi saat x = 4. Sekarang kita perlu mencari nilai y yang bersesuaian menggunakan persamaan garis x + 2y = 8:
4 + 2y = 8
2y = 8 - 4
2y = 4
y = 2
Jadi, koordinat titik P agar luas persegi panjang itu maksimum adalah (4, 2).