Perhatikan gambar berikut. (-3,0) (1,0) (0,-3) (-1,-4)

f(x) = 1/3 x^3 + x^2 - 3x - 5

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan integral dan konsep gradien garis singgung. Parabola yang diberikan adalah grafik hubungan antara gradien garis singgung suatu kurva y=f(x) pada setiap nilai x. Ini berarti jika g(x) adalah gradien garis singgung, maka g(x) = f'(x). Dari gambar (yang diasumsikan berbentuk parabola), kita perlu menentukan fungsi gradien tersebut.

Titik-titik pada parabola gradien adalah (-3,0), (1,0), dan (0,-3). Karena parabola memotong sumbu-x di (-3,0) dan (1,0), maka bentuk umumnya adalah f'(x) = a(x - (-3))(x - 1) = a(x+3)(x-1).

Karena parabola juga melalui titik (0,-3), kita bisa substitusikan x=0 dan f'(x)=-3 untuk mencari nilai 'a':
-3 = a(0+3)(0-1)
-3 = a(3)(-1)
-3 = -3a
a = 1

Jadi, fungsi gradien (turunan pertama) adalah f'(x) = 1(x+3)(x-1) = x^2 + 2x - 3.

Untuk menemukan fungsi asli f(x), kita perlu mengintegralkan f'(x):
f(x) = ∫(x^2 + 2x - 3) dx
f(x) = (1/3)x^3 + x^2 - 3x + C

Diketahui bahwa kurva y=f(x) melalui titik (0,-5). Kita substitusikan x=0 dan f(x)=-5 untuk mencari nilai konstanta C:
-5 = (1/3)(0)^3 + (0)^2 - 3(0) + C
-5 = 0 + 0 - 0 + C
C = -5

Jadi, fungsi f(x) adalah: f(x) = (1/3)x^3 + x^2 - 3x - 5.

Jika kita bandingkan dengan pilihan jawaban yang diberikan:
A. x^3+3x^2-9x-5
B. 1/3 x^3+x^2-3x-5
C. 3x^3+9x^2-27x-5
D. x^3-3x^2+9x-5
E. x^3+3x^2-9x+5

Pilihan yang sesuai adalah B.