Perhatikan gambar berikut. 3x+2y=64 3x+2y+12 Ilustrator:

Nilai minimumnya adalah -4.

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan program linear, di mana kita perlu mencari nilai minimum dari fungsi objektif $f(x, y) = y - 2x$ pada daerah yang diarsir, yang merupakan daerah penyelesaian dari suatu sistem pertidaksamaan.

Langkah 1: Tentukan pertidaksamaan dari garis-garis pada gambar.
Asumsikan garis yang melalui titik (a, 0) dan (0, b) memiliki persamaan $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$.

Untuk garis pertama yang melalui (2, 0) dan (0, 6), persamaannya adalah $\frac{x}{2} + \frac{y}{6} = 1$. Dikalikan 6 menjadi $3x + y = 6$. Karena daerah yang diarsir berada di bawah garis ini, pertidaksamaannya adalah $3x + y \le 6$.

Untuk garis kedua yang melalui (4, 0) dan (0, 4), persamaannya adalah $\frac{x}{4} + \frac{y}{4} = 1$. Dikalikan 4 menjadi $x + y = 4$. Karena daerah yang diarsir berada di atas garis ini, pertidaksamaannya adalah $x + y \ge 4$.

Selain itu, karena daerah yang diarsir berada di kuadran pertama, maka $x \ge 0$ dan $y \ge 0$.

Jadi, sistem pertidaksamaannya adalah:
1. $3x + y \le 6$
2. $x + y \ge 4$
3. $x \ge 0$
4. $y \ge 0$

Langkah 2: Tentukan titik-titik pojok dari daerah penyelesaian.
Titik pojok diperoleh dari perpotongan garis-garis batas.

Perpotongan $x=0$ dan $x+y=4$ adalah (0, 4).
Perpotongan $y=0$ dan $3x+y=6$ adalah (2, 0).
Perpotongan $3x+y=6$ dan $x+y=4$: Kurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama: $(3x+y) - (x+y) = 6 - 4$, sehingga $2x = 2$, maka $x=1$. Substitusikan $x=1$ ke $x+y=4$, sehingga $1+y=4$, maka $y=3$. Titik potongnya adalah (1, 3).

Titik-titik pojoknya adalah (0, 4), (2, 0), dan (1, 3).

Langkah 3: Substitusikan titik-titik pojok ke dalam fungsi objektif $f(x, y) = y - 2x$.
Untuk (0, 4): $f(0, 4) = 4 - 2(0) = 4$.
Untuk (2, 0): $f(2, 0) = 0 - 2(2) = -4$.
Untuk (1, 3): $f(1, 3) = 3 - 2(1) = 1$.

Langkah 4: Tentukan nilai minimum.
Nilai minimum dari $f(x, y) = y - 2x$ adalah -4.