Perhatikan gambar berikut.Diketahui panjang AE=8 cm dan

84 cm

Pembahasan

Untuk mencari keliling layang-layang ABCD, kita perlu mengetahui panjang semua sisinya. Kita tahu luas layang-layang ABCD adalah 420 cm^2. Rumus luas layang-layang adalah 1/2 * d1 * d2, di mana d1 dan d2 adalah panjang diagonalnya. Diketahui salah satu diagonalnya, BD = 30 cm. Maka, 1/2 * AE * BD = Luas ABCD.  Kita perlu mengklarifikasi diagonal mana yang dimaksud dengan AE. Asumsikan AE adalah setengah dari diagonal AC, sehingga AC = 2 * AE = 2 * 8 cm = 16 cm. Namun, AE biasanya merujuk pada salah satu diagonal atau bagian dari diagonal. Jika AE adalah diagonal AC, maka luasnya adalah 1/2 * AC * BD = 1/2 * AE * BD.  Jika AE adalah setengah dari diagonal AC dan titik E adalah perpotongan kedua diagonal, maka luas ABCD = 1/2 * AC * BD. Jika AE adalah 8 cm dan BD adalah 30 cm, dan ini adalah diagonal-diagonalnya, maka luasnya adalah 1/2 * 8 * 30 = 120 cm^2. Ini bertentangan dengan luas yang diberikan yaitu 420 cm^2.  Mari kita asumsikan bahwa AE merujuk pada setengah panjang diagonal AC (yaitu, panjang dari titik A ke perpotongan diagonal) dan BD adalah diagonal yang lain (30 cm). Misalkan perpotongan kedua diagonal adalah O. Maka AO = 8 cm. Luas layang-layang = 1/2 * AC * BD. Jadi, 420 = 1/2 * AC * 30.  420 = 15 * AC. AC = 420 / 15 = 28 cm. Karena layang-layang memiliki sepasang sisi yang sama panjang, maka AB = AD dan CB = CD. Diagonal-diagonal layang-layang berpotongan tegak lurus. Misalkan perpotongan diagonal adalah O. Maka AO = OC = AC/2 = 28/2 = 14 cm, dan BO = OD = BD/2 = 30/2 = 15 cm.  Dalam segitiga siku-siku AOB, AB^2 = AO^2 + BO^2 = 14^2 + 15^2 = 196 + 225 = 421. AB = sqrt(421) cm. Dalam segitiga siku-siku COB, CB^2 = CO^2 + BO^2 = 14^2 + 15^2 = 196 + 225 = 421. CB = sqrt(421) cm.  Ini berarti semua sisi layang-layang sama panjang, yang merupakan belah ketupat. Keliling = 2 * (AB + CB) = 2 * (sqrt(421) + sqrt(421)) = 4 * sqrt(421) cm.  Ada kemungkinan interpretasi lain. Jika AE = 8 cm adalah panjang salah satu sisi (misalnya AB) dan BD = 30 cm adalah salah satu diagonal, dan luasnya 420 cm^2.  Mari kita kembali ke asumsi awal bahwa AE adalah setengah dari diagonal AC. Jadi AC = 2 * AE = 16 cm. Luas = 1/2 * AC * BD = 1/2 * 16 * 30 = 8 * 30 = 240 cm^2. Ini juga tidak sesuai.  Asumsi yang paling mungkin adalah AE adalah setengah dari diagonal AC, dan BD adalah diagonal lainnya. Dan ada kesalahan dalam nilai yang diberikan atau dalam pertanyaan.  Jika kita mengikuti luas 420 cm^2 dan BD = 30 cm, maka AC = 28 cm. Jika AE adalah bagian dari diagonal AC, dan perpotongan diagonal adalah O, maka AO = 8 cm. Ini tidak konsisten karena AC = 28 cm, sehingga AO seharusnya 14 cm.  Jika kita mengasumsikan AE = 8 cm adalah panjang sisi AB, dan luas 420 cm^2 dan BD = 30 cm. Luas = 1/2 * d1 * d2. Jika BD = 30 adalah d1, maka 420 = 1/2 * 30 * d2, sehingga d2 = 420 * 2 / 30 = 28 cm. Jadi AC = 28 cm. Jika AB = 8 cm, dan AC = 28 cm (AO = 14 cm) dan BD = 30 cm (BO = 15 cm). Maka AB^2 = AO^2 + BO^2 = 14^2 + 15^2 = 196 + 225 = 421. AB = sqrt(421) yang tidak sama dengan 8.  Mari kita coba asumsi lain: AE dan BE adalah bagian dari diagonal yang berpotongan di E. Jika AE=8, maka AC=16. Luas = 1/2 * AC * BD = 1/2 * 16 * 30 = 240. Tidak sesuai.  Jika BD=30 dan AE=8, dan luas=420. Asumsikan BD adalah diagonal pertama (d1=30) dan AC adalah diagonal kedua (d2). Maka Luas = 1/2 * d1 * d2. 420 = 1/2 * 30 * d2. 420 = 15 * d2. d2 = 420/15 = 28. Jadi AC = 28. AE adalah bagian dari diagonal AC. Jika E adalah titik perpotongan diagonal, maka AO=OC=14. Jika AE=8, maka ini berarti E tidak berada di tengah AC, yang tidak mungkin untuk layang-layang standar.  Mari kita berasumsi AE adalah setengah dari diagonal AC, yaitu AO=8, maka AC=16. Dan BD=30. Maka luas = 1/2 * 16 * 30 = 240.  Jika kita menganggap AE adalah 8 cm dan BD adalah 30 cm sebagai diagonalnya, maka luasnya adalah 1/2 * 8 * 30 = 120 cm^2. Karena luas yang diberikan adalah 420 cm^2, maka ada ketidaksesuaian dalam data yang diberikan atau interpretasi dari AE.  Asumsi terbaik adalah AE adalah setengah dari diagonal AC, sehingga AC = 2 * AE. Namun, jika AE=8cm dan BD=30cm, luasnya menjadi 1/2 * (2*AE) * BD = 1/2 * 16 * 30 = 240 cm^2.  Jika kita menggunakan luas 420 cm^2 dan BD = 30 cm, maka diagonal AC = 28 cm. Jika AE = 8 cm, dan itu adalah setengah dari diagonal AC, maka AC = 16 cm, yang bertentangan.  Kemungkinan besar, AE adalah 8 cm dan merupakan setengah dari satu diagonal, dan BD adalah diagonal lainnya 30 cm. Luasnya 420 cm^2. Jika BD=30, maka AC=28. Jika AE=8 adalah setengah dari AC, maka AC=16. Ini kontradiksi.  Mari kita coba lagi dengan interpretasi bahwa AE adalah 8 cm dan BD adalah 30 cm adalah diagonal-diagonalnya. Maka luasnya adalah 1/2 * 8 * 30 = 120 cm^2.  Jika luasnya 420 cm^2 dan BD = 30 cm, maka diagonal AC = 28 cm.  Jika kita menganggap AE=8 adalah setengah dari diagonal AC, maka AC=16.  Jika kita menganggap AE=8 adalah setengah dari diagonal BD, maka BD=16, yang bertentangan dengan BD=30.  Mari kita asumsikan AE=8cm adalah setengah dari diagonal AC, sehingga AC = 16cm. Dan BD=30cm adalah diagonal lainnya. Luas = 1/2 * 16 * 30 = 240 cm^2. Ini tidak sesuai.  Jika kita asumsikan BD=30cm adalah diagonal pertama dan AE=8cm adalah setengah dari diagonal kedua, maka diagonal kedua adalah 16cm. Luas = 1/2 * 30 * 16 = 240 cm^2.  Asumsi yang paling masuk akal dengan luas 420 cm^2 dan BD=30cm adalah AC=28cm. Jika AE=8cm, dan E adalah titik potong diagonal, maka AO=8cm. Maka sisi AB = sqrt(AO^2 + BO^2) = sqrt(8^2 + 15^2) = sqrt(64+225) = sqrt(289) = 17 cm. Sisi BC = sqrt(CO^2 + BO^2). Karena AC=28 dan AO=8, maka CO = AC - AO = 28 - 8 = 20 cm. Maka sisi BC = sqrt(20^2 + 15^2) = sqrt(400+225) = sqrt(625) = 25 cm. Keliling = 2 * (AB + BC) = 2 * (17 + 25) = 2 * 42 = 84 cm.  Dalam kasus ini, layang-layang memiliki dua pasang sisi yang berdekatan sama panjang, yaitu AB=AD=17cm dan CB=CD=25cm. Dan diagonal-diagonalnya berpotongan tegak lurus.  Periksa luas: 1/2 * AC * BD = 1/2 * 28 * 30 = 14 * 30 = 420 cm^2. Ini sesuai.  Jadi, keliling layang-layang adalah 84 cm.