Suku banyak berderajat tiga P(x)=x^3+2x+mx+n dibagi dengan

n = 14

Pembahasan

Kita diberikan suku banyak P(x) = x^3 + 2x + mx + n. Perhatikan bahwa ada kesalahan penulisan di soal asli, sepertinya seharusnya P(x) = x^3 + ax^2 + mx + n atau P(x) = x^3 + 2x^2 + mx + n. Namun, berdasarkan penulisan P(x) = x^3 + 2x + mx + n, kita bisa menyederhanakannya menjadi P(x) = x^3 + (2+m)x + n.

Suku banyak ini dibagi dengan x^2 - 4x + 3 dan sisanya adalah 3x + 2.

Pertama, faktorkan pembagi x^2 - 4x + 3:
x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)

Menurut teorema sisa, jika P(x) dibagi dengan (x-a), sisanya adalah P(a).
Karena pembaginya adalah (x-1)(x-3), kita akan mendapatkan sisa ketika P(x) dibagi dengan (x-1) dan (x-3).

Ketika P(x) dibagi dengan (x-1), sisanya adalah 3(1) + 2 = 5.
Jadi, P(1) = 5.
Substitusikan x=1 ke dalam P(x) = x^3 + (2+m)x + n:
P(1) = (1)^3 + (2+m)(1) + n
P(1) = 1 + 2 + m + n
P(1) = 3 + m + n
Karena P(1) = 5, maka:
3 + m + n = 5
m + n = 2  ...(Persamaan 1)

Ketika P(x) dibagi dengan (x-3), sisanya adalah 3(3) + 2 = 11.
Jadi, P(3) = 11.
Substitusikan x=3 ke dalam P(x) = x^3 + (2+m)x + n:
P(3) = (3)^3 + (2+m)(3) + n
P(3) = 27 + 6 + 3m + n
P(3) = 33 + 3m + n
Karena P(3) = 11, maka:
33 + 3m + n = 11
3m + n = 11 - 33
3m + n = -22 ...(Persamaan 2)

Sekarang kita memiliki sistem dua persamaan linear dengan dua variabel (m dan n):
1) m + n = 2
2) 3m + n = -22

Untuk mencari nilai n, kita bisa eliminasi m atau substitusi. Mari kita eliminasi m dengan mengalikan Persamaan 1 dengan 3:
3 * (m + n) = 3 * 2
3m + 3n = 6 ...(Persamaan 3)

Kurangkan Persamaan 2 dari Persamaan 3:
(3m + 3n) - (3m + n) = 6 - (-22)
3m + 3n - 3m - n = 6 + 22
2n = 28
n = 28 / 2
n = 14

Jadi, nilai n adalah 14. Kita juga bisa mencari m jika diperlukan:
m + 14 = 2 => m = 2 - 14 => m = -12.

Konfirmasi dengan Persamaan 2: 3(-12) + 14 = -36 + 14 = -22. Cocok.