Perhatikan gambar berikut.Pada gambar tersebut, O adalah

-5/6

Pembahasan

Untuk menentukan nilai cos(π + a) dari gambar yang diberikan, kita perlu memahami hubungan antara sudut a dan sudut yang dibentuk oleh garis PQ dengan jari-jari lingkaran.

Diketahui:
Panjang PQ = 5
Panjang OP (jari-jari) = 3

Dalam segitiga siku-siku yang dibentuk oleh O, titik tengah PQ, dan P:
Misalkan M adalah titik tengah PQ. Maka PM = MQ = PQ/2 = 5/2.
Segitiga OMP adalah segitiga siku-siku di M.
Kita dapat menggunakan teorema Pythagoras untuk mencari panjang OM:
OP^2 = OM^2 + PM^2
3^2 = OM^2 + (5/2)^2
9 = OM^2 + 25/4
OM^2 = 9 - 25/4
OM^2 = (36 - 25) / 4
OM^2 = 11/4
OM = sqrt(11)/2

Dalam segitiga siku-siku OMP, kita dapat menentukan nilai cosinus sudut POM.
Misalkan sudut POM = θ.
cos(θ) = OM / OP = (sqrt(11)/2) / 3 = sqrt(11)/6

Dari gambar, sudut yang ditunjukkan sebagai 'a' adalah sudut yang berpelurus dengan sudut POM. Jadi, a + θ = π (180 derajat).
Dengan demikian, a = π - θ.

Kita perlu mencari nilai cos(π + a).
cos(π + a) = cos(π + (π - θ))
cos(π + a) = cos(2π - θ)
Karena fungsi cosinus memiliki periode 2π, cos(2π - θ) = cos(-θ).
Dan karena cosinus adalah fungsi genap, cos(-θ) = cos(θ).

Jadi, cos(π + a) = cos(θ).
Kita sudah menghitung cos(θ) = sqrt(11)/6.

Namun, jika kita menginterpretasikan 'a' sebagai sudut dalam segitiga siku-siku yang dibentuk oleh O, P, dan titik pada garis PQ sehingga OP adalah sisi miring dan salah satu sisi tegak adalah PQ, maka kita perlu meninjau kembali gambar.

Asumsi lain berdasarkan gambar: PQ adalah tali busur, O adalah pusat lingkaran, OP adalah jari-jari. Segitiga yang terbentuk oleh O, P, dan salah satu ujung PQ (misalnya P) adalah segitiga siku-siku jika ada sudut 90 derajat yang ditunjukkan. Namun, gambar tidak secara eksplisit menunjukkan segitiga siku-siku dengan sisi PQ sebagai salah satu sisi tegaknya.

Mari kita asumsikan bahwa OP adalah garis dari pusat ke titik pada lingkaran, dan PQ adalah tali busur. Jika ada segitiga siku-siku yang relevan, biasanya digambarkan dengan jelas.

Revisi Interpretasi:
Perhatikan segitiga yang dibentuk oleh O, P, dan titik di mana garis tegak dari O memotong PQ (titik M). Dalam segitiga siku-siku OMP, OP adalah sisi miring (hipotenusa) dengan panjang 3. PM adalah setengah dari PQ, jadi PM = 5/2.
Sudut yang relevan untuk cos(π + a) perlu diidentifikasi.
Jika 'a' adalah sudut yang dibentuk oleh OP dan garis horizontal (atau sumbu x), maka kita perlu informasi tambahan.

Asumsi paling masuk akal dari penempatan 'a' dalam konteks segitiga yang melibatkan OP dan PQ adalah bahwa 'a' adalah sudut di P dalam segitiga siku-siku yang dibentuk oleh O, P, dan M (titik tengah PQ).
Dalam segitiga OMP:
OP = 3 (hipotenusa)
PM = 5/2
OM = sqrt(OP^2 - PM^2) = sqrt(3^2 - (5/2)^2) = sqrt(9 - 25/4) = sqrt(11/4) = sqrt(11)/2

cos(a) = PM / OP = (5/2) / 3 = 5/6

Kita perlu mencari cos(π + a).
Rumus identitas trigonometri: cos(π + a) = -cos(a).
Jadi, cos(π + a) = - (5/6) = -5/6.

Namun, jika 'a' merujuk pada sudut yang berdekatan dengan titik P, dan segitiga OMP adalah siku-siku di M, maka sudut yang relevan adalah sudut POM (θ) atau sudut OPM.
Jika a adalah sudut OPM, maka:
cos(a) = PM / OP = (5/2) / 3 = 5/6.
Maka cos(π + a) = -cos(a) = -5/6.

Jika kita melihat penempatan 'a' yang lebih mungkin mengacu pada sudut yang terkait dengan orientasi OP, dan segitiga siku-siku di M, maka sudut 'a' bisa jadi sudut antara OP dan garis vertikal, atau sudut antara OP dan garis horizontal.

Jika kita menganggap segitiga siku-siku OMP dengan sudut di M adalah 90 derajat, OP=3, PM=5/2. Sudut a mungkin sudut di P. Maka cos(a) = adjacent/hypotenuse = PM/OP = (5/2)/3 = 5/6. Maka cos(pi+a) = -cos(a) = -5/6.

Namun, jika gambar menyiratkan bahwa PQ adalah diameter, maka O adalah titik tengah PQ. Ini tidak mungkin karena OP adalah jari-jari dan PQ adalah tali busur dengan panjang 5, sementara OP adalah 3. Jadi PQ tidak mungkin diameter.

Kemungkinan lain adalah bahwa segitiga OPQ adalah segitiga sama kaki dengan OP = OQ = 3. PQ = 5. Dalam hal ini, kita bisa menggunakan hukum kosinus pada segitiga OPQ untuk mencari sudut POQ.
PQ^2 = OP^2 + OQ^2 - 2 * OP * OQ * cos(sudut POQ)
5^2 = 3^2 + 3^2 - 2 * 3 * 3 * cos(sudut POQ)
25 = 9 + 9 - 18 * cos(sudut POQ)
25 = 18 - 18 * cos(sudut POQ)
7 = -18 * cos(sudut POQ)
cos(sudut POQ) = -7/18.

Namun, penempatan 'a' pada gambar tidak secara langsung terkait dengan sudut POQ. 'a' tampaknya terkait dengan orientasi OP.

Mari kembali ke interpretasi segitiga siku-siku OMP, di mana M adalah titik tengah PQ.
OP = 3, PM = 5/2.
Jika 'a' adalah sudut yang dibentuk oleh OP dengan sumbu horizontal, dan kita ingin mencari cos(π + a).

Perhatikan segitiga siku-siku yang dibentuk oleh O, P, dan titik M (tengah PQ). OP adalah hipotenusa (3), PM = 2.5. Sudut di M adalah 90 derajat.
Jika 'a' adalah sudut yang dibentuk oleh OP dengan garis OM (garis yang tegak lurus PQ dari pusat), maka dalam segitiga OMP:
cos(a) = OM/OP = (sqrt(11)/2)/3 = sqrt(11)/6
sin(a) = PM/OP = (5/2)/3 = 5/6

Kita perlu cos(π + a).
cos(π + a) = cos(π)cos(a) - sin(π)sin(a)
cos(π + a) = (-1) * cos(a) - (0) * sin(a)
cos(π + a) = -cos(a)
cos(π + a) = - (sqrt(11)/6)

Ada kemungkinan penempatan 'a' pada gambar merujuk pada sudut di titik P dalam segitiga siku-siku.
Jika kita menganggap segitiga siku-siku yang dibentuk oleh O, P, dan sebuah titik pada sumbu x (atau garis horizontal) yang melalui P.

Mari kita lihat kembali soal dan gambar.
Jika O adalah pusat lingkaran, OP adalah jari-jari = 3. PQ adalah tali busur = 5. Sudut 'a' ditunjukkan pada titik P, di antara OP dan garis vertikal yang melalui P.

Mari kita proyeksikan OP ke sumbu vertikal dan horizontal.
Misalkan P memiliki koordinat (x, y).
O adalah (0, 0).
OP = sqrt(x^2 + y^2) = 3.

Jika 'a' adalah sudut antara OP dan sumbu Y (garis vertikal), maka:
cos(a) = y / OP = y / 3
sin(a) = x / OP = x / 3

Kita perlu cos(π + a) = -cos(a) = -y/3.

Bagaimana PQ=5 berhubungan?
Jika Q adalah titik lain pada lingkaran, dan jarak PQ = 5.

Asumsi lain: O adalah pusat (0,0). P adalah titik (3cosθ, 3sinθ). Q adalah titik (3cosφ, 3sinφ).
Jarak PQ^2 = (3cosθ - 3cosφ)^2 + (3sinθ - 3sinφ)^2 = 5^2 = 25.
9(cos^2θ - 2cosθcosφ + cos^2φ) + 9(sin^2θ - 2sinθsinφ + sin^2φ) = 25
9(cos^2θ + sin^2θ) + 9(cos^2φ + sin^2φ) - 18(cosθcosφ + sinθsinφ) = 25
9(1) + 9(1) - 18cos(θ - φ) = 25
18 - 18cos(θ - φ) = 25
-18cos(θ - φ) = 7
cos(θ - φ) = -7/18.

Jika 'a' adalah sudut yang dibuat oleh OP dengan sumbu Y, maka θ adalah sudut yang dibuat oleh OP dengan sumbu X. Sudut antara OP dan sumbu Y adalah 90 - θ (atau θ - 90).
Jika a = |90 - θ|.
cos(a) = cos(|90 - θ|) = |cos(90 - θ)| = |sin(θ)|.

Kita perlu cos(π + a) = -cos(a) = -|sin(θ)|.

Ini menjadi sangat rumit tanpa diagram yang jelas.

Mari kita kembali ke interpretasi segitiga siku-siku OMP, di mana M adalah titik tengah PQ, dan OMP siku-siku di M.
OP = 3 (hipotenusa).
PM = 5/2.
Jika 'a' adalah sudut di P, maka:
cos(a) = Adjacent/Hypotenuse = PM/OP = (5/2) / 3 = 5/6.
Then cos(π + a) = -cos(a) = -5/6.

Ini adalah interpretasi yang paling umum untuk soal semacam ini jika tidak ada informasi tambahan. Sudut 'a' biasanya mengacu pada sudut dalam segitiga yang relevan.