Perhatikan gambar berikut. Y O 2 4 5 XLuas daerah yang

Luas daerah dinyatakan dengan ∫(dari 2 sampai 4) -(x^2 - 6x + 8) dx + ∫(dari 4 sampai 5) (x - 2) dx.

Pembahasan

Untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh parabola y=x^2-6x+8, garis y=x-2, dan sumbu X, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1.  **Tentukan titik potong antara parabola dan garis:**
    x^2 - 6x + 8 = x - 2
    x^2 - 7x + 10 = 0
    (x - 2)(x - 5) = 0
    Titik potong terjadi pada x = 2 dan x = 5.

2.  **Tentukan titik potong parabola dengan sumbu X:**
    x^2 - 6x + 8 = 0
    (x - 2)(x - 4) = 0
    Titik potong terjadi pada x = 2 dan x = 4.

3.  **Tentukan titik potong garis dengan sumbu X:**
    x - 2 = 0
    x = 2

4.  **Visualisasikan daerah yang diarsir:**
    Parabola y = x^2 - 6x + 8 terbuka ke atas dan memotong sumbu X di x=2 dan x=4.
    Garis y = x - 2 memotong sumbu X di x=2 dan berpotongan dengan parabola di x=2 dan x=5.
    Daerah yang dibatasi oleh parabola, garis, dan sumbu X terbagi menjadi dua bagian:
    -   Dari x=2 hingga x=4, daerah dibatasi oleh parabola di atas dan sumbu X di bawah.
    -   Dari x=4 hingga x=5, daerah dibatasi oleh garis di atas dan sumbu X di bawah.

5.  **Hitung luas daerah menggunakan integral:**
    Luas = ∫(dari 2 sampai 4) (x^2 - 6x + 8) dx + ∫(dari 4 sampai 5) (x - 2) dx

    **Integral pertama:**
    ∫(x^2 - 6x + 8) dx = (1/3)x^3 - 3x^2 + 8x
    Evaluasi dari 2 sampai 4:
    [ (1/3)(4)^3 - 3(4)^2 + 8(4) ] - [ (1/3)(2)^3 - 3(2)^2 + 8(2) ]
    [ (64/3) - 48 + 32 ] - [ (8/3) - 12 + 16 ]
    [ 64/3 - 16 ] - [ 8/3 + 4 ]
    (64/3 - 48/3) - (8/3 + 12/3)
    16/3 - 20/3 = -4/3
    (Nilai negatif menunjukkan bahwa parabola berada di bawah sumbu x pada interval ini. Namun, karena kita mencari luas, kita ambil nilai absolutnya jika diperlukan atau pastikan batas integral sudah benar berdasarkan kurva. Dalam kasus ini, daerah di bawah sumbu X tidak relevan dengan pertanyaan yang meminta luas yang dibatasi SUMBU X. Oleh karena itu, area ini tidak dihitung karena berada di bawah sumbu X.)

    **Tinjauan ulang:** Gambar pada soal menunjukkan bahwa daerah yang dimaksud berada di atas sumbu X. Parabola memotong sumbu X di x=2 dan x=4. Garis memotong sumbu X di x=2. Titik potong parabola dan garis adalah x=2 dan x=5.
    Daerah yang dibatasi oleh parabola y=x^2-6x+8 dan sumbu X adalah antara x=2 dan x=4.
    Daerah yang dibatasi oleh garis y=x-2 dan sumbu X adalah dari x=2 ke atas.
    
    Jika kita melihat gambar, daerah yang dibatasi adalah di atas sumbu X.
    - Antara x=2 dan x=4, parabola y=x^2-6x+8 berada di atas sumbu X.
    - Antara x=2 dan x=5, garis y=x-2 berada di atas sumbu X.

    Pertanyaannya adalah luas daerah yang dibatasi oleh parabola y=x^2-6x+8, garis y=x-2, DAN sumbu X.
    Ini berarti kita perlu mencari daerah yang memenuhi ketiga batasan tersebut.

    Mari kita evaluasi ulang fungsi pada titik-titik penting:
    -   Di x=2: parabola = 2^2 - 6(2) + 8 = 4 - 12 + 8 = 0. Garis = 2 - 2 = 0. Sumbu X = 0.
    -   Di x=4: parabola = 4^2 - 6(4) + 8 = 16 - 24 + 8 = 0. Sumbu X = 0.
    -   Di x=5: parabola = 5^2 - 6(5) + 8 = 25 - 30 + 8 = 3. Garis = 5 - 2 = 3.

    Perhatikan bahwa pada interval [2, 4], parabola berada di atas sumbu X.
    Pada interval [2, 5], garis berada di atas sumbu X.

    Daerah yang dibatasi oleh ketiga kurva ini adalah: 
    - Dari x=2 sampai x=4, daerah dibatasi oleh parabola di atas dan sumbu X di bawah.
    - Dari x=4 sampai x=5, daerah dibatasi oleh garis di atas dan sumbu X di bawah.

    Jadi, perhitungannya adalah:
    Luas = ∫(dari 2 sampai 4) (x^2 - 6x + 8) dx + ∫(dari 4 sampai 5) (x - 2) dx

    **Integral pertama:**
    [ (1/3)x^3 - 3x^2 + 8x ] dari 2 sampai 4
    = [(1/3)(4)^3 - 3(4)^2 + 8(4)] - [(1/3)(2)^3 - 3(2)^2 + 8(2)]
    = [(64/3 - 48 + 32)] - [(8/3 - 12 + 16)]
    = [64/3 - 16] - [8/3 + 4]
    = (64/3 - 48/3) - (8/3 + 12/3)
    = 16/3 - 20/3 = -4/3
    (Ini menunjukkan area di bawah sumbu X, yang tidak relevan jika kita menginterpretasikan soal sebagai area di atas sumbu X.)

    **Jika soal merujuk pada area di atas sumbu X:**
    Sepertinya ada kesalahan interpretasi atau gambar yang tidak disertakan. Namun, jika kita mengasumsikan luas yang dimaksud adalah area positif yang dibatasi oleh kurva-kurva tersebut:

    Alternatif interpretasi: Daerah dibatasi oleh parabola DAN sumbu X (antara x=2 dan x=4) DAN garis.
    Pada interval [2,4], parabola berada di atas sumbu X. Nilai y=x-2 pada interval ini adalah positif (dari 0 hingga 2).

    Jika kita melihat pilihan jawaban yang mungkin, biasanya soal seperti ini mengarah pada bentuk integral tertentu.
    Luas = ∫[f(x) - g(x)] dx.

    Dalam kasus ini, kita memiliki tiga batasan. Titik potong utama adalah x=2 (semua bertemu di sini) dan x=4 (parabola memotong sumbu X). Titik potong lain adalah x=5 (parabola dan garis bertemu).

    Kemungkinan besar, soal ini meminta luas daerah yang dibatasi oleh parabola dan sumbu X pada interval di mana parabola berada di atas sumbu X, dan kemudian area yang dibatasi oleh garis dan sumbu X pada interval tertentu.

    Perhatikan bahwa parabola memotong sumbu X di x=2 dan x=4. Jadi, integral dari parabola dengan sumbu X adalah ∫(x^2-6x+8)dx dari 2 sampai 4.
    Garis y=x-2 memotong sumbu X di x=2. Nilai y positif untuk x>2.

    Jika daerah yang dimaksud adalah area tertutup yang dibentuk oleh ketiga kurva, maka harus ada batasan yang jelas.

    Kembali ke pertanyaan: "Luas daerah yang dibatasi oleh parabola y=x^2-6x+8 , garis y=x-2 dan sumbu X dapat dinyatakan dengan ...."

    Ini berarti kita mencari area yang memenuhi ketiga kondisi tersebut. Mari kita gambar sketsa kasarnya:
    - Parabola y=x^2-6x+8: Puncak di x = -(-6)/(2*1) = 3. y(3) = 9 - 18 + 8 = -1. Memotong sumbu X di x=2 dan x=4.
    - Garis y=x-2: Memotong sumbu X di x=2, sumbu Y di y=-2.

    
    Pada interval [2, 4], parabola berada di atas sumbu X. Garis y=x-2 juga berada di atas sumbu X.
    Di titik x=4, nilai parabola adalah 0, nilai garis adalah 4-2 = 2.
    Di titik x=5, nilai parabola adalah 3, nilai garis adalah 3.

    Daerah yang dibatasi oleh parabola DAN sumbu X terjadi dari x=2 sampai x=4.
    Daerah yang dibatasi oleh garis DAN sumbu X terjadi untuk x>=2.

    Jadi, area yang dibatasi oleh ketiga kurva ini adalah:
    - Dari x=2 sampai x=4, area di bawah parabola dan di atas sumbu X. Integral: ∫[x^2 - 6x + 8] dx dari 2 sampai 4.
    - Dari x=4 sampai x=5, area di bawah garis dan di atas sumbu X. Integral: ∫[x - 2] dx dari 4 sampai 5.
    (Karena di x=5, parabola dan garis bertemu, dan di x=4, parabola menyentuh sumbu X. Daerahnya harus dibatasi oleh ketiga kurva ini).

    **Perhitungan yang benar untuk luas positif:**
    Integral pertama (parabola vs sumbu X):
    ∫(x^2 - 6x + 8) dx dari 2 sampai 4
    = [ (1/3)x^3 - 3x^2 + 8x ] dari 2 sampai 4
    = [(64/3 - 48 + 32) - (8/3 - 12 + 16)]
    = [64/3 - 16] - [8/3 + 4]
    = (64/3 - 48/3) - (8/3 + 12/3)
    = 16/3 - 20/3 = -4/3. Ini tidak benar jika luasnya positif. 
    **Kesalahan umum:** Jika fungsi berada di bawah sumbu X, integralnya negatif. Namun, luasnya adalah nilai absolutnya. Tapi di sini, parabola y=x^2-6x+8 berada di ATAS sumbu X pada (2, 4).

    Mari kita hitung ulang dengan benar:
    ∫(x^2 - 6x + 8) dx = 1/3 x^3 - 3x^2 + 8x
    Nilai pada x=4: 1/3(64) - 3(16) + 8(4) = 64/3 - 48 + 32 = 64/3 - 16 = (64 - 48)/3 = 16/3.
    Nilai pada x=2: 1/3(8) - 3(4) + 8(2) = 8/3 - 12 + 16 = 8/3 + 4 = (8 + 12)/3 = 20/3.
    Integral dari 2 ke 4 = (16/3) - (20/3) = -4/3.
    Ini masih negatif. Cek kembali puncak parabola: x=3, y=-1. Jadi parabola memang berada di bawah sumbu X di puncaknya. Interval (2, 4) adalah di mana parabola berada di ATAS sumbu X. Mengapa integralnya negatif? Mari cek lagi:
    x^2 - 6x + 8 = 0
    (x-2)(x-4)=0. Ya, akar akarnya 2 dan 4.
    Pilih nilai uji, misal x=3: 3^2 - 6(3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1. Jadi, pada interval (2, 4), parabola berada DI BAWAH sumbu X.

    Jika parabola berada di bawah sumbu X pada interval (2, 4), maka luasnya dihitung sebagai -\[∫(x^2 - 6x + 8) dx\].
    Luas1 = -(-4/3) = 4/3.

    Integral kedua (garis vs sumbu X):
    ∫(x - 2) dx dari 4 sampai 5
    = [ (1/2)x^2 - 2x ] dari 4 sampai 5
    = [ (1/2)(5)^2 - 2(5) ] - [ (1/2)(4)^2 - 2(4) ]
    = [ 25/2 - 10 ] - [ 16/2 - 8 ]
    = [ 12.5 - 10 ] - [ 8 - 8 ]
    = 2.5 - 0 = 2.5 = 5/2.

    Luas total = Luas1 + Luas2 = 4/3 + 5/2 = 8/6 + 15/6 = 23/6.

    Jadi, luas daerahnya adalah ∫ dari 2 sampai 4 (y_atas - y_bawah) dx + ∫ dari 4 sampai 5 (y_atas - y_bawah) dx.

    Dalam soal ini, sumbu X adalah y=0.
    Parabola: y = x^2 - 6x + 8.
    Garis: y = x - 2.

    Daerah dibatasi oleh:
    - Parabola dan Sumbu X (antara x=2 dan x=4, parabola di bawah sumbu X)
    - Garis dan Sumbu X (antara x=2 dan x=5, garis di atas sumbu X)

    Jika kita harus mempertimbangkan KETIGA kurva tersebut:
    - Pada interval [2, 4]: Parabola di bawah sumbu X (y negatif), Garis di atas sumbu X (y positif). Batasan yang relevan di sini adalah sumbu X (y=0) dan Garis (y=x-2).
    - Pada interval [4, 5]: Parabola di bawah sumbu X (y negatif), Garis di atas sumbu X (y positif).

    Pertanyaan ini agak ambigu tanpa gambar yang jelas. Namun, jika kita menafsirkan "dibatasi oleh parabola, garis, dan sumbu X" sebagai daerah yang diapit oleh ketiganya, maka:
    - Dari x=2 sampai x=4: Sumbu X adalah batas atas, dan parabola adalah batas bawah (meskipun berada di bawah sumbu X, kita tetap menghitung area di atas sumbu X).
      Integral = ∫(0 - (x^2 - 6x + 8)) dx dari 2 sampai 4 = -∫(x^2 - 6x + 8) dx dari 2 sampai 4 = -(-4/3) = 4/3.
    - Dari x=4 sampai x=5: Garis adalah batas atas, dan sumbu X adalah batas bawah.
      Integral = ∫(x - 2 - 0) dx dari 4 sampai 5 = ∫(x - 2) dx dari 4 sampai 5 = 5/2.

    Luas total = 4/3 + 5/2 = 23/6.

    Jika kita melihat pilihan jawaban yang mungkin (yang tidak diberikan di sini), ekspresi integralnya adalah yang dicari.
    Ekspresi integralnya adalah:
    ∫(dari 2 sampai 4) (x^2 - 6x + 8) dx  ini akan memberikan hasil negatif karena parabola di bawah sumbu X.
    ∫(dari 4 sampai 5) (x - 2) dx

    Jika soal memintaLuas daerah yang DIBATASI oleh kurva, biasanya kita mengintegrasikan (y_atas - y_bawah).
    
    Mari kita cek titik potong antara parabola dan garis lagi:
    x^2 - 6x + 8 = x - 2
    x^2 - 7x + 10 = 0
    (x-2)(x-5) = 0
    x=2, x=5.
    
    Titik potong parabola dan sumbu X:
    x^2 - 6x + 8 = 0
    (x-2)(x-4) = 0
    x=2, x=4.
    
    Titik potong garis dan sumbu X:
    x - 2 = 0
    x = 2.
    
    Untuk daerah yang dibatasi oleh parabola dan sumbu X, intervalnya adalah [2, 4]. Di interval ini, parabola y = x^2 - 6x + 8 berada di bawah sumbu X (karena akar-akarnya 2 dan 4, dan koefisien x^2 positif). Jadi, luasnya adalah -\[∫(x^2-6x+8)dx\].
    
    Untuk daerah yang dibatasi oleh garis dan sumbu X, intervalnya adalah [2, ∞) karena garis y=x-2 berada di atas sumbu X untuk x > 2.

    Namun, karena harus dibatasi oleh KETIGA kurva, kita harus melihat interval gabungan.
    
    Perhatikan bahwa pada x=2, semua kurva berpotongan di y=0.
    Pada x=4, parabola menyentuh sumbu X (y=0), sedangkan garis y=4-2=2.
    Pada x=5, parabola dan garis berpotongan di y=3.
    
    Ini menyarankan bahwa daerah yang dimaksud adalah:
    1. Dari x=2 sampai x=4, dibatasi oleh sumbu X (atas) dan parabola (bawah).
       Luas1 = ∫[0 - (x^2 - 6x + 8)] dx dari 2 sampai 4 = ∫( -x^2 + 6x - 8) dx dari 2 sampai 4
       = [-1/3 x^3 + 3x^2 - 8x] dari 2 sampai 4
       = (-1/3(64) + 3(16) - 8(4)) - (-1/3(8) + 3(4) - 8(2))
       = (-64/3 + 48 - 32) - (-8/3 + 12 - 16)
       = (-64/3 + 16) - (-8/3 - 4)
       = (-64/3 + 48/3) - (-8/3 - 12/3)
       = -16/3 - (-20/3)
       = -16/3 + 20/3 = 4/3.
    
    2. Dari x=4 sampai x=5, dibatasi oleh garis (atas) dan sumbu X (bawah).
       Luas2 = ∫(x - 2 - 0) dx dari 4 sampai 5 = ∫(x - 2) dx dari 4 sampai 5
       = [1/2 x^2 - 2x] dari 4 sampai 5
       = (1/2(25) - 2(5)) - (1/2(16) - 2(4))
       = (25/2 - 10) - (8 - 8)
       = (12.5 - 10) - 0
       = 2.5 = 5/2.
    
    Jadi, ekspresi yang benar untuk luas daerah tersebut adalah penjumlahan kedua integral tersebut:
    ∫(dari 2 sampai 4) (-x^2 + 6x - 8) dx + ∫(dari 4 sampai 5) (x - 2) dx
    Ini bisa juga ditulis sebagai:
    ∫(dari 2 sampai 4) -(x^2 - 6x + 8) dx + ∫(dari 4 sampai 5) (x - 2) dx

    Pilihan jawaban yang mungkin akan berbentuk seperti ini.