Perhatikan gambar di bawah ini. BD:DC=1:2 dan AE:EC=3:1

Vektor ED = $\frac{-3\vec{a} + 8\vec{b} - 5\vec{c}}{12}$

Pembahasan

Untuk menentukan vektor ED, kita perlu menggunakan informasi perbandingan vektor yang diberikan dan sifat operasi vektor.

Diketahui:
- Vektor posisi A adalah a, B adalah b, C adalah c.
- BD:DC = 1:2, artinya $\vec{BD} = \frac{1}{3} \vec{BC}$
- AE:EC = 3:1, artinya $\vec{AE} = \frac{3}{4} \vec{AC}$

Kita ingin mencari vektor ED.
Kita bisa mengekspresikan vektor ED sebagai selisih vektor posisi titik D dan E:
$\vec{ED} = \vec{d} - \vec{e}$

Sekarang, mari kita cari vektor posisi D ($\vec{d}$) dan E ($\vec{e}$).

Karena BD:DC = 1:2, maka D membagi BC dengan perbandingan 1:2. Vektor posisi D adalah:
$\vec{d} = \frac{2\vec{b} + 1\vec{c}}{1+2} = \frac{2\vec{b} + \vec{c}}{3}$

Karena AE:EC = 3:1, maka E membagi AC dengan perbandingan 3:1. Vektor posisi E adalah:
$\vec{e} = \frac{1\vec{a} + 3\vec{c}}{3+1} = \frac{\vec{a} + 3\vec{c}}{4}$

Sekarang kita hitung vektor ED:
$\vec{ED} = \vec{d} - \vec{e}$
$\vec{ED} = \frac{2\vec{b} + \vec{c}}{3} - \frac{\vec{a} + 3\vec{c}}{4}$

Untuk mengurangkan pecahan vektor, samakan penyebutnya:
$\vec{ED} = \frac{4(2\vec{b} + \vec{c})}{12} - \frac{3(\vec{a} + 3\vec{c})}{12}$
$\vec{ED} = \frac{8\vec{b} + 4\vec{c} - (3\vec{a} + 9\vec{c})}{12}$
$\vec{ED} = \frac{8\vec{b} + 4\vec{c} - 3\vec{a} - 9\vec{c}}{12}$
$\vec{ED} = \frac{-3\vec{a} + 8\vec{b} - 5\vec{c}}{12}$

Dengan $\vec{a}$, $\vec{b}$, dan $\vec{c}$ sebagai vektor posisi dari titik A, B, dan C.

**Ringkasan Jawaban:**
Vektor ED = $\frac{-3\vec{a} + 8\vec{b} - 5\vec{c}}{12}$