Perhatikan gambar di bawah ini. Y 6 D(1,6) C(7,6) 4 A(2,4)

a. Sistem pertidaksamaan: 2x+y >= 8, 2x+5y >= 24, x <= 7, y <= 6. (Catatan: Pertidaksamaan ini didasarkan pada asumsi umum penamaan titik sudut dan arah arsiran. Konfirmasi visual dari gambar sangat penting). b. Nilai maksimum Z=3x-4y adalah 16 (di titik (7,2)), dan nilai minimum Z=3x-4y adalah -12 (di titik (2,4)).

Pembahasan

Untuk menentukan sistem pertidaksamaan yang membatasi daerah arsiran dan menghitung nilai maksimum serta minimum fungsi objektif Z=3x-4y, kita perlu menganalisis setiap garis yang membentuk daerah tersebut.

Koordinat titik-titik sudut daerah arsiran adalah:
A(2,4), B(7,2), C(7,6), D(1,6).

1.  **Garis AD:** Melalui titik A(2,4) dan D(1,6).
    Gradien (m) = (6-4) / (1-2) = 2 / -1 = -2.
    Persamaan garis: y - y1 = m(x - x1)
    y - 4 = -2(x - 2)
    y - 4 = -2x + 4
    2x + y = 8.
    Karena daerah arsiran berada di bawah garis ini (atau di sebelah kanan jika dilihat dari gradien negatif), kita uji titik (2,2) yang berada di dalam daerah:
    2(2) + 2 = 4 + 2 = 6. Karena 6 < 8, maka pertidaksamaannya adalah 2x + y <= 8.

2.  **Garis AB:** Melalui titik A(2,4) dan B(7,2).
    Gradien (m) = (2-4) / (7-2) = -2 / 5.
    Persamaan garis: y - y1 = m(x - x1)
    y - 4 = (-2/5)(x - 2)
    5(y - 4) = -2(x - 2)
    5y - 20 = -2x + 4
    2x + 5y = 24.
    Uji titik (2,2): 2(2) + 5(2) = 4 + 10 = 14. Karena 14 < 24, maka pertidaksamaannya adalah 2x + 5y <= 24.

3.  **Garis BC:** Melalui titik B(7,2) dan C(7,6).
    Ini adalah garis vertikal x = 7.
    Karena daerah arsiran berada di sebelah kiri garis ini, pertidaksamaannya adalah x <= 7.

4.  **Garis CD:** Melalui titik C(7,6) dan D(1,6).
    Ini adalah garis horizontal y = 6.
    Karena daerah arsiran berada di bawah garis ini, pertidaksamaannya adalah y <= 6.

5.  **Batasan bawah:** Titik A memiliki koordinat y=4, dan titik B memiliki koordinat y=2. Namun, jika kita melihat sumbu Y, daerah arsiran dimulai dari y=2 ke atas. Jika kita melihat koordinat titik A(2,4) dan B(7,2), ini menunjukkan bahwa batas bawah tidak seragam. Namun, dari grafik yang digambarkan, tampaknya ada batasan implisit yang berasal dari sumbu atau titik lain yang tidak disebutkan. Jika kita mengasumsikan bahwa daerah dibatasi oleh garis y=2 (garis horizontal yang melalui B), maka y >= 2.
    
    Mari kita periksa kembali titik-titik tersebut dan gambar yang diasumsikan.
    A(2,4), B(7,2), C(7,6), D(1,6).
    Daerah arsiran dibatasi oleh garis AD, AB, BC, dan CD. 
    Batas bawah tampaknya adalah titik B(7,2) dan sebuah titik di sebelah kiri A. Jika kita perhatikan koordinat y, nilai terendah adalah 2. Jika kita perhatikan koordinat x, nilai terendah adalah 1 dan tertinggi adalah 7.
    
    Jika kita mengasumsikan batasan dari sumbu x dan y, serta garis yang terbentuk dari titik-titik yang diberikan:
    Daerah dibatasi oleh:
    x >= 1 (dari D)
    x <= 7 (dari B dan C)
    y >= 2 (dari B)
    y <= 6 (dari C dan D)
    
    Ditambah dengan dua garis diagonal: AD (2x + y <= 8) dan AB (2x + 5y <= 24).
    
    Jadi, sistem pertidaksamaannya adalah:
    a. 2x + y <= 8
    b. 2x + 5y <= 24
    c. x <= 7
    d. y <= 6
    e. x >= 1
    f. y >= 2
    
    Namun, biasanya dalam soal program linear, batasan utama adalah garis-garis yang membentuk poligon. Mari kita fokus pada garis AD, AB, BC, CD.
    
    Garis AD: 2x + y = 8. Daerah di bawahnya: 2x + y <= 8.
    Garis AB: 2x + 5y = 24. Daerah di bawahnya: 2x + 5y <= 24.
    Garis BC: x = 7. Daerah di sebelah kiri: x <= 7.
    Garis CD: y = 6. Daerah di bawahnya: y <= 6.
    
    Jika kita melihat titik B(7,2) dan A(2,4), garis AB memotong sumbu y di atas titik A, dan memotong sumbu x di x=12.
    
    Pertimbangkan titik-titik sudut saja:
A(2,4), B(7,2), C(7,6), D(1,6).

    Mari kita cek kembali persamaan garis AB:
    A(2,4), B(7,2)
    m = (2-4)/(7-2) = -2/5
    y - 4 = (-2/5)(x - 2)
    5y - 20 = -2x + 4
    2x + 5y = 24. Ini benar.
    
    Sekarang, mari kita tentukan sistem pertidaksamaan yang secara spesifik membatasi daerah arsiran yang mungkin berbentuk trapesium atau segiempat.
    Berdasarkan titik-titik sudut:
    Garis AD (2x + y = 8), daerah di bawahnya 2x + y <= 8.
    Garis AB (2x + 5y = 24), daerah di bawahnya 2x + 5y <= 24.
    Garis BC (x = 7), daerah di sebelah kiri 7: x <= 7.
    Garis CD (y = 6), daerah di bawahnya y <= 6.
    
    Perhatikan bahwa titik A(2,4) memenuhi 2x+y=8 dan 2x+5y=14 (kurang dari 24).
    Titik B(7,2) memenuhi 2x+y=16 (lebih dari 8), 2x+5y=24.
    Titik C(7,6) memenuhi 2x+y=20 (lebih dari 8), 2x+5y=34 (lebih dari 24).
    Titik D(1,6) memenuhi 2x+y=8, 2x+5y=32 (lebih dari 24).
    
    Ini menunjukkan bahwa titik B dan C TIDAK berada di bawah atau di sebelah kiri garis AD dan AB. Ini berarti daerah arsiran mungkin bukan segiempat yang dibentuk oleh keempat titik tersebut secara langsung.
    
    Mari kita lihat kembali gambar yang diasumsikan dari deskripsi: Y 6 D(1,6) C(7,6) 4 A(2,4) B(7,2) 0 X.
    Ini menunjukkan titik-titik berada pada kuadran pertama.
    Garis AD: 2x + y = 8.
    Garis AB: 2x + 5y = 24.
    Garis BC: x = 7.
    Garis CD: y = 6.
    
    Jika daerah arsiran dibatasi oleh garis-garis ini dan sumbu x, y:
    Misalkan daerahnya dibatasi oleh garis AB, AD, dan mungkin garis vertikal dan horizontal.
    
    Jika kita ambil titik-titik sudut sebagai batas:
A(2,4), B(7,2), C(7,6), D(1,6).
    Ini membentuk sebuah poligon.
    Sistem pertidaksamaan yang membatasi daerah ini:
    -   Dari garis AD (2x + y = 8), karena daerah ada di bawah atau di kiri garis ini, 2x + y <= 8.
    -   Dari garis AB (2x + 5y = 24), karena daerah ada di bawah atau di kiri garis ini, 2x + 5y <= 24.
    -   Dari garis BC (x = 7), karena daerah ada di sebelah kiri garis ini, x <= 7.
    -   Dari garis CD (y = 6), karena daerah ada di bawah garis ini, y <= 6.
    -   Dari titik A(2,4) dan D(1,6), nilai x minimum adalah 1, jadi x >= 1.
    -   Dari titik A(2,4) dan B(7,2), nilai y minimum adalah 2, jadi y >= 2.
    
    Namun, ini menjadi terlalu banyak pertidaksamaan jika hanya ada 4 titik sudut. Biasanya, daerah arsiran dibatasi oleh garis-garis yang dibentuk oleh pasangan titik tersebut.
    
    Mari kita asumsikan bahwa daerah arsiran adalah poligon dengan titik-titik sudut A, B, C, D.
    
    a. Sistem Pertidaksamaan:
    Untuk menentukan pertidaksamaan, kita perlu melihat arah arsiran relatif terhadap garis yang dibentuk oleh pasangan titik.
    - Garis AD (melalui (2,4) dan (1,6)): 2x + y = 8. Uji titik (7,2): 2(7)+2=16. 16>8. Jadi daerahnya di sisi lain dari garis ini, atau 2x + y >= 8. ATAU jika titik A dan D membatasi, dan daerah di bawahnya, maka 2x + y <= 8.
    - Garis AB (melalui (2,4) dan (7,2)): 2x + 5y = 24. Uji titik (1,6): 2(1)+5(6)=32. 32>24. Jadi daerahnya di sisi lain dari garis ini, atau 2x + 5y >= 24. ATAU jika titik A dan B membatasi, dan daerah di bawahnya, maka 2x + 5y <= 24.
    - Garis BC (melalui (7,2) dan (7,6)): x = 7. Daerahnya di sebelah kiri, jadi x <= 7.
    - Garis CD (melalui (1,6) dan (7,6)): y = 6. Daerahnya di bawah, jadi y <= 6.
    
    Jika kita mengasumsikan bahwa daerah arsiran adalah daerah yang dibatasi oleh garis-garis yang disebutkan dan berada di dalam kuadran pertama, maka:
    - Dari A(2,4) ke D(1,6): Garis 2x+y=8. Daerah arsiran mungkin di bawah garis ini (2x+y <= 8) atau di atasnya.
    - Dari A(2,4) ke B(7,2): Garis 2x+5y=24. Daerah arsiran mungkin di bawah garis ini (2x+5y <= 24) atau di atasnya.
    - Dari B(7,2) ke C(7,6): Garis x=7. Daerah arsiran di sebelah kiri (x <= 7).
    - Dari C(7,6) ke D(1,6): Garis y=6. Daerah arsiran di bawah (y <= 6).
    
    Mari kita uji titik di dalam daerah yang mungkin. Misal titik (4,4).
    2(4)+4 = 12. 12 > 8. Maka AD adalah 2x+y >= 8.
    2(4)+5(4) = 8+20 = 28. 28 > 24. Maka AB adalah 2x+5y >= 24.
    
    Ini bertentangan dengan konvensi umum program linear di mana daerah arsiran adalah