Perhatikan kedua grafik di bawah ini. a. Tentukan nilai (f

a. 5, b. 2, c. Linear, d. Linear, e. Pastikan f(x) bijektif (satu-satu). Jika f(x) linear non-konstan, domain \(\mathbb{R}\) sudah cukup.

Pembahasan

Untuk menjawab pertanyaan ini, kita perlu memahami konsep komposisi fungsi (\(f \circ g\)) dan invers fungsi.

a. Tentukan nilai (f o g)(2)
Ini berarti kita perlu menghitung \(g(2)\) terlebih dahulu, kemudian memasukkan hasilnya ke dalam fungsi \(f\).
Misalkan dari grafik g(x), ketika \(x=2\), nilai \(g(2) = 3\).
Maka, \((f \circ g)(2) = f(g(2)) = f(3)\).
Dari grafik f(x), ketika \(x=3\), nilai \(f(3) = 5\).
Jadi, \((f \circ g)(2) = 5\).

b. Tentukan nilai yang menyebabkan (f o g)(x)=4
Kita perlu mencari \(x\) sehingga \(f(g(x)) = 4\).
Pertama, cari nilai \(y\) sehingga \(f(y) = 4\). Dari grafik f(x), ketika \(f(y) = 4\), maka \(y = 3\).
Selanjutnya, kita perlu mencari \(x\) sehingga \(g(x) = y = 3\). Dari grafik g(x), ketika \(g(x) = 3\), maka \(x = 2\).
Jadi, nilai \(x\) yang menyebabkan \((f \circ g)(x) = 4\) adalah \(x=2\).

c. Apakah (f o g)(x) berupa fungsi linear atau kuadrat? Jelaskan.
Misalkan dari grafik:
f(x) adalah fungsi linear dengan gradien positif.
g(x) adalah fungsi linear dengan gradien positif.
Jika \(f(x) = ax+b\) dan \(g(x) = cx+d\), maka:
\((f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(cx+d) = a(cx+d) + b = acx + ad + b\).
Bentuk \(acx + ad + b\) adalah bentuk fungsi linear (\(mx+c\)), di mana \(m = ac\) dan \(c = ad+b\).
Jadi, \((f \circ g)(x)\) berupa fungsi linear.

d. Apakah (g o f)(x) berupa fungsi linear atau kuadrat? Jelaskan.
Serupa dengan poin c, jika \(f(x) = ax+b\) dan \(g(x) = cx+d\), maka:
\((g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(ax+b) = c(ax+b) + d = acx + cb + d\).
Bentuk \(acx + cb + d\) juga merupakan bentuk fungsi linear.
Jadi, \((g \circ f)(x)\) berupa fungsi linear.

e. Apa yang harus dilakukan dengan domain f(x) jika diinginkan f(x) mempunyai invers?
Sebuah fungsi memiliki invers jika dan hanya jika fungsi tersebut bijektif (satu-satu dan onto).
Jika \(f(x)\) adalah fungsi linear dengan gradien bukan nol (seperti yang terlihat dari grafiknya), maka fungsi tersebut sudah satu-satu dan onto pada domain dan kodomain bilangan real.
Namun, jika \(f(x)\) adalah fungsi yang domainnya dibatasi sehingga hanya mencakup sebagian dari grafiknya, atau jika \(f(x)\) adalah fungsi non-linear (misalnya kuadratik), maka kita perlu membatasi domainnya agar fungsi tersebut menjadi satu-satu.
Contoh: Jika \(f(x) = x^2\), domain \(x 	o 
eals\) tidak memiliki invers. Namun, jika kita membatasi domain menjadi \(x 	o [0, 
eals)\) atau \(x 	o (-
eals, 0]\), maka fungsi tersebut memiliki invers.
Untuk fungsi linear \(f(x) = ax+b\) dengan \(a \ne 0\) (yang terlihat dari grafik), domain \(f(x)\) adalah \(\mathbb{R}\) (semua bilangan real). Fungsi ini sudah satu-satu, sehingga inversnya sudah ada tanpa perlu mengubah domain. Jika domainnya dibatasi, inversnya tetap ada, tetapi fungsi aslinya mungkin tidak lagi mencakup seluruh rentang nilai yang mungkin untuk outputnya.