Kelas 11mathGeometri
Perhatikan sistem pertidaksamaan berikut ini! x^2+y^2>=1
Pertanyaan
Perhatikan sistem pertidaksamaan berikut ini! x²+y²≥1 dan x²+y²-2x+2y-7≤0. Luas daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan di atas adalah ... satuan luas.
Solusi
Verified
8π
Pembahasan
Untuk menentukan luas daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan x²+y²≥1 dan x²+y²-2x+2y-7≤0, kita perlu menganalisis kedua pertidaksamaan tersebut. Pertidaksamaan 1: x² + y² ≥ 1 Ini merepresentasikan daerah di luar atau pada lingkaran dengan pusat di (0,0) dan jari-jari r₁ = √1 = 1. Pertidaksamaan 2: x² + y² - 2x + 2y - 7 ≤ 0 Untuk menganalisis lingkaran ini, kita ubah bentuknya ke bentuk standar (x-h)² + (y-k)² = r² dengan melengkapkan kuadrat: (x² - 2x) + (y² + 2y) ≤ 7 (x² - 2x + 1) + (y² + 2y + 1) ≤ 7 + 1 + 1 (x - 1)² + (y + 1)² ≤ 9 Ini merepresentasikan daerah di dalam atau pada lingkaran dengan pusat di (1,-1) dan jari-jari r₂ = √9 = 3. Himpunan penyelesaian adalah daerah yang memenuhi kedua pertidaksamaan tersebut, yaitu daerah yang berada di luar atau pada lingkaran pertama DAN di dalam atau pada lingkaran kedua. Ini berarti kita mencari luas daerah di antara dua lingkaran, tetapi dengan mempertimbangkan bahwa daerahnya harus berada di luar lingkaran pertama (pusat (0,0), r=1) dan di dalam lingkaran kedua (pusat (1,-1), r=3). Perhatikan bahwa pusat kedua lingkaran tidak sama. Untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh dua lingkaran yang berpusat di titik berbeda, kita perlu melihat apakah ada irisan atau tidak, dan bagaimana daerahnya dibatasi. Daerah himpunan penyelesaian adalah: { (x, y) | x² + y² ≥ 1 } ∩ { (x, y) | (x - 1)² + (y + 1)² ≤ 9 } Karena lingkaran pertama berpusat di (0,0) dengan jari-jari 1, dan lingkaran kedua berpusat di (1,-1) dengan jari-jari 3, kita perlu menghitung luas area irisan atau area yang relevan. Luas lingkaran pertama (A₁) = π * r₁² = π * 1² = π Luas lingkaran kedua (A₂) = π * r₂² = π * 3² = 9π Daerah yang dicari adalah daerah di dalam lingkaran kedua tetapi DILUAR lingkaran pertama. Ini adalah bentuk cincin atau area yang diarsir antara dua lingkaran tersebut, tetapi harus memenuhi kedua syarat. Kita perlu menghitung luas lingkaran kedua dan menguranginya dengan bagian dari lingkaran pertama yang masuk ke dalam lingkaran kedua. Namun, cara paling sederhana untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh dua lingkaran adalah dengan mencari luas lingkaran yang lebih besar dan menguranginya dengan luas lingkaran yang lebih kecil jika satu lingkaran berada di dalam lingkaran lainnya atau jika kita mencari area di antara mereka. Dalam kasus ini, kita mencari area di dalam lingkaran kedua DAN di luar lingkaran pertama. Ini adalah luas lingkaran kedua dikurangi area irisan dari kedua lingkaran tersebut. Cara yang lebih mudah adalah dengan menghitung luas total dari lingkaran kedua dan kemudian menguranginya dengan luas bagian dari lingkaran pertama yang berada di dalam lingkaran kedua. ATAU, kita bisa melihatnya sebagai luas lingkaran kedua dikurangi luas bagian lingkaran pertama yang memenuhi syarat. Mari kita perhatikan pusat dan jari-jari: Lingkaran 1: Pusat O1(0,0), r1 = 1 Lingkaran 2: Pusat O2(1,-1), r2 = 3 Jarak antara pusat kedua lingkaran: d = √((1-0)² + (-1-0)²) = √(1² + (-1)²) = √2 Karena d (√2) < r2 - r1 (3 - 1 = 2), maka lingkaran pertama berada sepenuhnya di dalam lingkaran kedua. Jika lingkaran pertama berada sepenuhnya di dalam lingkaran kedua, maka daerah yang memenuhi x² + y² ≥ 1 DAN (x - 1)² + (y + 1)² ≤ 9 adalah: Area di dalam lingkaran kedua DIKURANGI area di dalam lingkaran pertama. Luas = Luas Lingkaran 2 - Luas Lingkaran 1 Luas = 9π - π Luas = 8π Jadi, luas daerah himpunan penyelesaiannya adalah 8π satuan luas.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Lingkaran
Section: Irisan Dua Lingkaran
Apakah jawaban ini membantu?