Tentukan batas-batas x agar bentuk: (1-2 sin x)log (3-4 sin

x ∈ (arcsin(3/4)/2, π/6)

Pembahasan

Agar bentuk (1 - 2 sin x) log (3 - 4 sin 2x) terdefinisi untuk 0 ≤ x ≤ 2π, kita perlu memastikan dua kondisi terpenuhi:

1.  **Argumen logaritma harus positif:**
    3 - 4 sin 2x > 0
    3 > 4 sin 2x
    sin 2x < 3/4

2.  **Basis logaritma harus positif dan tidak sama dengan 1:**
    Basis logaritma di sini tidak eksplisit disebutkan, namun jika diasumsikan basisnya adalah 10 atau 'e' (bilangan natural), maka syarat basis sudah terpenuhi (positif dan ≠ 1).
    Namun, jika basisnya adalah (1 - 2 sin x), maka kita punya syarat tambahan:
    a. 1 - 2 sin x > 0  => 1 > 2 sin x => sin x < 1/2
    b. 1 - 2 sin x ≠ 1  => -2 sin x ≠ 0 => sin x ≠ 0

    Mari kita analisis kedua kemungkinan:

    **Kasus 1: Basis logaritma adalah konstanta (misal 10 atau e)**
    Kita hanya perlu memenuhi syarat argumen logaritma positif: sin 2x < 3/4.
    Untuk 0 ≤ x ≤ 2π, maka rentang untuk 2x adalah 0 ≤ 2x ≤ 4π.
    Kita perlu mencari nilai-nilai 2x di rentang ini di mana sin 2x < 3/4.

    Pertama, cari nilai 2x di mana sin 2x = 3/4.
    Misalkan α = arcsin(3/4). Nilai α berada di kuadran I.
    Nilai 2x yang memenuhi sin 2x = 3/4 adalah:
    2x = α, π - α, 2π + α, 3π - α, ...
    Dalam rentang 0 hingga 4π:
    2x = α
    2x = π - α
    2x = 2π + α
    2x = 3π - α

    Fungsi sin 2x akan kurang dari 3/4 di interval:
    (α, π - α)  -> ini untuk 0 ≤ 2x ≤ π
    (2π + α, 3π - α) -> ini untuk 2π ≤ 2x ≤ 3π

    Dari sini, kita dapatkan rentang x:
    x ∈ (α/2, (π - α)/2)
    x ∈ (π + α/2, (3π - α)/2)

    Ini adalah solusi jika basisnya konstanta.

    **Kasus 2: Basis logaritma adalah (1 - 2 sin x)**
    Kita harus memenuhi:
    i)  sin 2x < 3/4
    ii) sin x < 1/2
    iii) sin x ≠ 0

    Sekarang kita kombinasikan:

    Untuk sin x < 1/2 pada rentang 0 ≤ x ≤ 2π:
    Nilai x di mana sin x = 1/2 adalah π/6 dan 5π/6.
    sin x < 1/2 terjadi pada interval (5π/6, 2π + π/6) atau dalam satu putaran (5π/6, 2π) U [0, π/6).
    Jadi, x ∈ [0, π/6) ∪ (5π/6, 2π).

    Untuk sin x ≠ 0 pada rentang 0 ≤ x ≤ 2π:
    x ≠ 0, x ≠ π, x ≠ 2π.
    Jadi, kita perlu mengeluarkan nilai 0, π, dan 2π dari interval sebelumnya.
    x ∈ (0, π/6) ∪ (5π/6, 2π).

    Selanjutnya, kita gabungkan dengan syarat sin 2x < 3/4.
    Kita tahu 2x = 2 sin x cos x.
    Jadi, 2 sin x cos x < 3/4.

    Kita perlu menganalisis pada interval:
    *   x ∈ (0, π/6):
        Di sini, sin x positif dan cos x positif.
        sin x < 1/2, cos x > √3/2.
        2 sin x cos x akan positif.
        Kita perlu memeriksa apakah 2 sin x cos x < 3/4.
        Pada x = π/6, sin x = 1/2, cos x = √3/2. Maka sin 2x = 2 * (1/2) * (√3/2) = √3/2.
        Karena √3/2 ≈ 0.866 dan 3/4 = 0.75, maka √3/2 > 3/4.
        Ini berarti pada x = π/6, sin 2x > 3/4.
        Jadi, kita perlu mencari batas di mana sin 2x = 3/4 dalam interval ini.
        2x = α (dimana α = arcsin(3/4)).
        x = α/2.
        Karena α adalah sudut di kuadran I, α/2 juga di kuadran I.
        Kita perlu memeriksa apakah α/2 < π/6.
        sin(α) = 3/4. α ≈ 48.6°. α/2 ≈ 24.3°.
        π/6 = 30°.
        Jadi, α/2 < π/6.
        Syarat sin 2x < 3/4 terpenuhi untuk x ∈ (α/2, π/6).

    *   x ∈ (5π/6, 2π):
        Interval ini mencakup kuadran II, III, dan IV.
        Kita perlu memeriksa sin x < 1/2 dan sin 2x < 3/4.
        Pada x = 5π/6, sin x = 1/2, sin 2x = sin(5π/3) = -√3/2. Di sini sin 2x < 3/4.
        Pada x = π, sin x = 0, sin 2x = sin(2π) = 0. Di sini sin 2x < 3/4.
        Pada x = 3π/2, sin x = -1, sin 2x = sin(3π) = 0. Di sini sin 2x < 3/4.
        Pada x = 2π, sin x = 0, sin 2x = sin(4π) = 0. Di sini sin 2x < 3/4.

        Kita perlu mencari nilai x di mana sin 2x = 3/4 dalam interval (5π/6, 2π).
        Solusi untuk sin 2x = 3/4 di 0 ≤ 2x ≤ 4π adalah:
        2x = α, π - α, 2π + α, 3π - α.
        Sehingga x = α/2, (π - α)/2, π + α/2, (3π - α)/2.

        Nilai x yang relevan untuk interval (5π/6, 2π) adalah:
        π + α/2 (ini di kuadran III)
        (3π - α)/2 (ini di kuadran IV)

        Kita perlu memastikan bahwa dalam interval (5π/6, 2π), sin 2x < 3/4.
        Interval sin 2x < 3/4 adalah:
        x ∈ (α/2, (π - α)/2) ∪ (π + α/2, (3π - α)/2)

        Sekarang kita perlu mengirisnya dengan domain yang valid:
        Domain yang valid adalah x ∈ (0, π/6) ∪ (5π/6, 2π).

        Irisan pertama: (α/2, (π - α)/2) ∩ (0, π/6)
        Karena α/2 < π/6 dan (π - α)/2 > π/6 (karena α < π/2), maka irisannya adalah (α/2, π/6).

        Irisan kedua: (π + α/2, (3π - α)/2) ∩ (5π/6, 2π)
        Kita tahu 5π/6 ≈ 150°.
        π + α/2 ≈ 180° + 24.3° = 204.3°.
        (3π - α)/2 ≈ (3*180° - 48.6°)/2 = (540° - 48.6°)/2 = 491.4°/2 = 245.7°.
        Jadi, intervalnya adalah (204.3°, 245.7°).
        Ini sepenuhnya berada di dalam (5π/6, 2π) = (150°, 360°).
        Jadi, irisannya adalah (π + α/2, (3π - α)/2).

        Jadi, batas-batas x agar bentuk tersebut terdefinisi adalah:
        x ∈ (α/2, π/6) ∪ (π + α/2, (3π - α)/2)
        dimana α = arcsin(3/4).

        Menggabungkan semua syarat:
        1. 3 - 4 sin 2x > 0  => sin 2x < 3/4
        2. 1 - 2 sin x > 0  => sin x < 1/2
        3. 1 - 2 sin x ≠ 1  => sin x ≠ 0

        Dari sin x < 1/2 dan sin x ≠ 0 pada [0, 2π], kita dapatkan x ∈ (0, π/6) ∪ (5π/6, 2π).

        Dari sin 2x < 3/4 pada [0, 2π], kita dapatkan x ∈ (α/2, (π-α)/2) ∪ (π+α/2, (3π-α)/2).
        
        Irisan dari kedua kondisi ini adalah:
        x ∈ (α/2, π/6) ∪ (π + α/2, (3π - α)/2).

        Sekarang, jika pertanyaan mengacu pada batas 'x' secara umum, dan tidak pada interval [0, 2π], maka jawabannya adalah solusi dari sin 2x < 3/4 DAN sin x < 1/2 DAN sin x ≠ 0.

        Jika soal memang membatasi 0<=x<=2, maka kita perlu mengkonversi 2 radian ke derajat atau membandingkan dengan nilai π.
        2 radian ≈ 114.6°.
        π/6 radian ≈ 30°.
        5π/6 radian ≈ 150°.
        π radian ≈ 180°.

        Interval 0 ≤ x ≤ 2 (radian).
        sin x < 1/2 => x ∈ [0, π/6) ∪ (5π/6, 2π].
        Dalam interval 0 ≤ x ≤ 2:
        π/6 ≈ 0.524 rad.
        5π/6 ≈ 2.618 rad.
        Jadi, sin x < 1/2 untuk x ∈ [0, π/6).
        Dan sin x ≠ 0 untuk x ∈ (0, 2].
        Jadi, syarat basis valid untuk x ∈ (0, π/6).

        Sekarang syarat argumen: sin 2x < 3/4.
        2x = α, π - α, 2π + α, 3π - α
        x = α/2, (π - α)/2, π + α/2, (3π - α)/2.
        α ≈ 0.85 radian (48.6°).
        α/2 ≈ 0.425 rad.
        (π - α)/2 ≈ (3.141 - 0.85)/2 ≈ 2.29/2 ≈ 1.145 rad.
        π + α/2 ≈ 3.141 + 0.425 ≈ 3.566 rad.
        (3π - α)/2 ≈ (3*3.141 - 0.85)/2 ≈ (9.423 - 0.85)/2 ≈ 8.573/2 ≈ 4.286 rad.

        Syarat sin 2x < 3/4 terpenuhi pada x ∈ (α/2, (π-α)/2) ∪ (π+α/2, (3π-α)/2).

        Kita perlu mengiriskan ini dengan 0 ≤ x ≤ 2.
        x ∈ (0.425, 1.145) ∪ (3.566, 4.286).

        Irisan dengan interval basis x ∈ (0, π/6) ≈ (0, 0.524).
        Irisan antara (0.425, 1.145) dan (0, 0.524) adalah (0.425, 0.524).
        Irisan antara (3.566, 4.286) dan (0, 0.524) adalah kosong.

        Jadi, jika batasnya 0<=x<=2, maka intervalnya adalah (α/2, π/6), atau sekitar (0.425, 0.524) radian.

        Jika batasnya 0<=x<=2π, maka intervalnya adalah (α/2, π/6) ∪ (π + α/2, (3π - α)/2).
        Karena soal menyebutkan "0<=x<=2" dan bukan "0<=x<=2π", kita asumsikan itu adalah 2 radian.

        Mari kita ulangi pengecekan untuk 0<=x<=2.
        Syarat basis: sin x < 1/2 dan sin x ≠ 0.
        Dalam interval [0, 2] radian:
        sin x = 0 pada x = 0.
        sin x = 1/2 pada x = π/6 ≈ 0.524.
        Jadi, sin x < 1/2 pada [0, π/6).
        Dan sin x ≠ 0 pada (0, 2].
        Kombinasinya: x ∈ (0, π/6).

        Syarat argumen: sin 2x < 3/4.
        Interval solusi untuk sin 2x < 3/4 adalah x ∈ (α/2, (π-α)/2) ∪ (π+α/2, (3π-α)/2).
        Kita perlu irisan dari (0, π/6) dengan solusi sin 2x < 3/4.
        Kita tahu α/2 ≈ 0.425 dan π/6 ≈ 0.524.
        (π-α)/2 ≈ 1.145.
        Jadi, irisan dari (0, π/6) dengan (α/2, (π-α)/2) adalah (α/2, π/6).
        Irisan dengan bagian lain dari solusi sin 2x < 3/4 adalah kosong karena π+α/2 sudah lebih besar dari 2.

        Jadi, batas-batas x agar bentuk tersebut terdefinisi untuk 0 ≤ x ≤ 2 adalah x ∈ (arcsin(3/4)/2, π/6).
        Ini kira-kira (0.425, 0.524) radian.