Perhatikan skema segitiga Pascal berikut. Tunjukkan bahwa

Jumlah bilangan pada baris ke-n segitiga Pascal (dimulai dari n=1) adalah 2^(n-1).

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa jumlah semua bilangan pada masing-masing baris dalam segitiga Pascal sama dengan 2^(n-1), kita dapat mengamati pola dari baris-baris awal:

Baris 1: 1 (Jumlah = 1 = 2^(1-1) = 2^0)
Baris 2: 1 1 (Jumlah = 2 = 2^(2-1) = 2^1)
Baris 3: 1 2 1 (Jumlah = 4 = 2^(3-1) = 2^2)
Baris 4: 1 3 3 1 (Jumlah = 8 = 2^(4-1) = 2^3)
Baris 5: 1 4 6 4 1 (Jumlah = 16 = 2^(5-1) = 2^4)
Baris 6: 1 5 10 10 5 1 (Jumlah = 32 = 2^(6-1) = 2^5)

Secara umum, setiap bilangan dalam segitiga Pascal merupakan hasil penjumlahan dua bilangan di atasnya. Hal ini berkaitan dengan teorema binomial. Koefisien binomial pada ekspansi (a + b)^n adalah unsur-unsur pada baris ke-(n+1) dari segitiga Pascal. Jumlah dari koefisien binomial ini adalah 2^n, yang didapatkan dengan mensubstitusikan a=1 dan b=1 ke dalam ekspansi (a+b)^n.

Jika kita mendefinisikan baris ke-n sebagai baris yang dimulai dengan angka 1, n, ... (dimana n dimulai dari 0 untuk baris paling atas), maka:
Baris 0: 1 (Jumlah = 1 = 2^0)
Baris 1: 1 1 (Jumlah = 2 = 2^1)
Baris 2: 1 2 1 (Jumlah = 4 = 2^2)
Baris n: koefisien dari (a+b)^n

Dengan demikian, jumlah semua bilangan pada baris ke-n (dimulai dari n=0) adalah 2^n. Jika n menyatakan banyaknya baris (dimulai dari n=1 untuk baris pertama yang berisi '1'), maka jumlahnya adalah 2^(n-1).