Persamaan bayangan garis 2x+y-1=0 ditransformasikan oleh

3x+y-1=0

Pembahasan

Misalkan garis awal adalah $2x+y-1=0$. Transformasi pertama menggunakan matriks $T_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$. Transformasi kedua adalah pencerminan terhadap sumbu-X, yang direpresentasikan oleh matriks $T_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$.

Transformasi gabungan adalah $T = T_2 T_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$.

Misalkan titik $(x, y)$ ditransformasikan menjadi $(x', y')$. Maka $\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$.

Untuk mencari persamaan bayangan, kita perlu menyatakan $(x, y)$ dalam $(x', y')$. Kita cari invers dari matriks T:
$det(T) = (1)(-2) - (1)(-1) = -2 + 1 = -1$.
$T^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$.

Maka $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$.
Ini berarti $x = 2x' + y'$ dan $y = -x' - y'$.

Substitusikan nilai $x$ dan $y$ ini ke dalam persamaan garis awal $2x+y-1=0$:
$2(2x' + y') + (-x' - y') - 1 = 0$
$4x' + 2y' - x' - y' - 1 = 0$
$3x' + y' - 1 = 0$.

Jadi, persamaan bayangan garisnya adalah $3x+y-1=0$.