Persamaan bayangan lingkaran x^2+y^2-4x+6y-12=0 oleh rotasi

Persamaan bayangan lingkaran adalah x^2 + y^2 + 16x + 6y + 48 = 0.

Pembahasan

Untuk mencari persamaan bayangan lingkaran x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0 oleh rotasi pada pusat (-3, 2) dengan sudut rotasi 270 derajat, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

Langkah 1: Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran asli.
Persamaan lingkaran umum: (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
Untuk mengubah persamaan yang diberikan ke bentuk ini, kita lengkapi kuadrat:
(x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) = 12
(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) = 12 + 4 + 9
(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25
Jadi, pusat lingkaran asli adalah (h, k) = (2, -3) dan jari-jarinya adalah r = 5.

Langkah 2: Tentukan transformasi rotasi untuk pusat lingkaran.
Rotasi sebesar 270 derajat searah jarum jam (atau -270 derajat berlawanan arah jarum jam) dengan pusat rotasi (a, b) mengubah titik (x, y) menjadi (x', y') di mana:
x' = a - (y - b)
y' = b + (x - a)

Dalam kasus ini, pusat rotasi (a, b) = (-3, 2) dan sudut rotasi adalah 270 derajat.
Mari kita gunakan rumus rotasi 270 derajat berlawanan arah jarum jam (yang memiliki efek sama dengan 90 derajat searah jarum jam untuk bayangan).
Rumus rotasi 270 derajat berlawanan arah jarum jam dengan pusat (a, b):
x' = a + (y - b)
y' = b - (x - a)

Langkah 3: Terapkan transformasi rotasi pada pusat lingkaran asli (2, -3).
Misalkan (x_pusat, y_pusat) = (2, -3).
Pusat rotasi (a, b) = (-3, 2).

x'_pusat = a + (y_pusat - b)
x'_pusat = -3 + (-3 - 2)
x'_pusat = -3 + (-5)
x'_pusat = -8

y'_pusat = b - (x_pusat - a)
y'_pusat = 2 - (2 - (-3))
y'_pusat = 2 - (2 + 3)
y'_pusat = 2 - 5
y'_pusat = -3

Jadi, pusat lingkaran yang baru adalah (-8, -3).

Langkah 4: Tentukan jari-jari lingkaran bayangan.
Rotasi adalah transformasi isometri, yang berarti tidak mengubah ukuran atau bentuk. Oleh karena itu, jari-jari lingkaran bayangan sama dengan jari-jari lingkaran asli, yaitu r' = r = 5.

Langkah 5: Tuliskan persamaan lingkaran bayangan.
Dengan pusat baru (-8, -3) dan jari-jari 5, persamaan lingkaran bayangan adalah:
(x - (-8))^2 + (y - (-3))^2 = 5^2
(x + 8)^2 + (y + 3)^2 = 25

Untuk menulis dalam bentuk umum:
x^2 + 16x + 64 + y^2 + 6y + 9 = 25
x^2 + y^2 + 16x + 6y + 64 + 9 - 25 = 0
x^2 + y^2 + 16x + 6y + 48 = 0

Persamaan bayangan lingkaran tersebut adalah x^2 + y^2 + 16x + 6y + 48 = 0.