Persamaan garis singgung lingkaran dengan persamaan

Persamaan garis singgungnya adalah $3x - y - 11 = 0$.

Pembahasan

Untuk mencari persamaan garis singgung lingkaran dengan persamaan $x^2+y^2+4x-6y-27=0$ di titik $(4,1)$, kita perlu melakukan langkah-langkah berikut:

1.  **Identifikasi Pusat dan Jari-jari Lingkaran:**
    Persamaan umum lingkaran adalah $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, di mana $(a,b)$ adalah pusat dan $r$ adalah jari-jari. Untuk mengubah persamaan $x^2+y^2+4x-6y-27=0$ ke bentuk ini, kita gunakan metode melengkapkan kuadrat:
    $(x^2 + 4x) + (y^2 - 6y) = 27$
    $(x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) = 27 + 4 + 9$
    $(x+2)^2 + (y-3)^2 = 40$
    Dari bentuk ini, kita dapatkan:
    *   Pusat lingkaran $(a,b) = (-2, 3)$
    *   Jari-jari kuadrat $r^2 = 40$

2.  **Gunakan Rumus Persamaan Garis Singgung:**
    Rumus persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ di titik $(x_1, y_1)$ adalah $x x_1 + y y_1 + g(x+x_1) + f(y+y_1) + c = 0$.
    Dari persamaan $x^2+y^2+4x-6y-27=0$, kita punya:
    *   $2g = 4 
ightarrow g = 2$
    *   $2f = -6 
ightarrow f = -3$
    *   $c = -27$
    *   Titik singgung $(x_1, y_1) = (4, 1)$

    Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus:
    $x(4) + y(1) + 2(x+4) + (-3)(y+1) + (-27) = 0$
    $4x + y + 2x + 8 - 3y - 3 - 27 = 0$
    $(4x + 2x) + (y - 3y) + (8 - 3 - 27) = 0$
    $6x - 2y - 22 = 0$

3.  **Sederhanakan Persamaan:**
    Kita bisa membagi seluruh persamaan dengan 2 untuk menyederhanakannya:
    $3x - y - 11 = 0$

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran tersebut di titik (4,1) adalah $3x - y - 11 = 0$.