Persamaan garis singgung lingkaran x^2+y^2-26x+8y+160=0

Persamaan garis singgungnya adalah 5x - 12y - 48 = 0 atau 5x - 12y - 178 = 0.

Pembahasan

Untuk menemukan persamaan garis singgung lingkaran x²+y²-26x+8y+160=0 yang tegak lurus dengan garis 12x+5y=10, kita perlu melalui beberapa langkah:

1.  **Menentukan pusat dan jari-jari lingkaran:**
    Persamaan lingkaran umum adalah (x-a)² + (y-b)² = r², di mana (a,b) adalah pusat dan r adalah jari-jari.
    Kita ubah persamaan x²+y²-26x+8y+160=0 menjadi bentuk standar dengan melengkapkan kuadrat:
    (x² - 26x) + (y² + 8y) = -160
    (x² - 26x + 169) + (y² + 8y + 16) = -160 + 169 + 16
    (x - 13)² + (y + 4)² = 25
    Jadi, pusat lingkaran (a,b) adalah (13, -4) dan jari-jarinya (r) adalah √25 = 5.

2.  **Menentukan gradien garis singgung:**
Garis 12x + 5y = 10 memiliki gradien m1 = -12/5.
Karena garis singgung tegak lurus dengan garis ini, gradien garis singgung (m2) adalah kebalikan negatif dari m1:
m2 = -1 / m1 = -1 / (-12/5) = 5/12.

3.  **Mencari persamaan garis singgung:**
Persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat (a,b) dan gradien m adalah y - b = m(x - a) ± r√(1 + m²).
Substitusikan nilai-nilai yang diketahui:
y - (-4) = (5/12)(x - 13) ± 5√(1 + (5/12)²)
y + 4 = (5/12)(x - 13) ± 5√(1 + 25/144)
y + 4 = (5/12)(x - 13) ± 5√(169/144)
y + 4 = (5/12)(x - 13) ± 5(13/12)
y + 4 = (5/12)(x - 13) ± 65/12

Kalikan kedua sisi dengan 12 untuk menghilangkan pecahan:
12(y + 4) = 5(x - 13) ± 65
12y + 48 = 5x - 65 ± 65

Ada dua kemungkinan persamaan garis singgung:

a) 12y + 48 = 5x - 65 + 65
   12y + 48 = 5x
   5x - 12y - 48 = 0

b) 12y + 48 = 5x - 65 - 65
   12y + 48 = 5x - 130
   5x - 12y - 178 = 0

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran yang tegak lurus dengan garis 12x+5y=10 adalah 5x - 12y - 48 = 0 atau 5x - 12y - 178 = 0.