Persamaan garis singgung lingkaran x^2+y^2+6x+10y-91=0 yang

$4x + 5y + 78 = 0$

Pembahasan

Untuk mencari persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2+6x+10y-91=0$ yang melalui titik (-7,-10), pertama-tama kita perlu menentukan pusat dan jari-jari lingkaran tersebut.

Bentuk umum persamaan lingkaran adalah $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, di mana (a,b) adalah pusat dan r adalah jari-jari. Kita bisa mengubah persamaan yang diberikan ke bentuk ini dengan melengkapkan kuadrat.

$x^2+6x + y^2+10y = 91$
$(x^2+6x+9) + (y^2+10y+25) = 91 + 9 + 25$
$(x+3)^2 + (y+5)^2 = 125$

Jadi, pusat lingkaran adalah (-3, -5) dan jari-jarinya adalah $r = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$.

Selanjutnya, kita perlu memeriksa apakah titik (-7,-10) terletak pada lingkaran. Substitusikan titik tersebut ke dalam persamaan lingkaran:
$(-7)^2 + (-10)^2 + 6(-7) + 10(-10) - 91$
$= 49 + 100 - 42 - 100 - 91$
$= 149 - 233 = -84$
Karena hasilnya bukan 0, titik (-7,-10) tidak terletak pada lingkaran. Diasumsikan soal ini bermaksud mencari garis singgung yang melalui titik tersebut (titik di luar lingkaran).

Namun, jika soal ini mengasumsikan titik (-7, -10) berada pada lingkaran (dan ada kesalahan pengetikan pada persamaan atau titiknya), maka cara mencari garis singgungnya berbeda.

Asumsi Soal: Titik (-7,-10) ada di lingkaran. Maka kita gunakan rumus garis singgung $x_1x + y_1y + a(x+x_1) + b(y+y_1) + c = 0$ untuk lingkaran $x^2+y^2+2ax+2by+c=0$

Dalam kasus ini: $a=3$, $b=5$, $c=-91$, $x_1=-7$, $y_1=-10$

Maka persamaannya adalah:
$(-7)x + (-10)y + 3(x + (-7)) + 5(y + (-10)) - 91 = 0$
$-7x - 10y + 3x - 21 + 5y - 50 - 91 = 0$
$-4x - 5y - 162 = 0$
$4x + 5y + 162 = 0$

Mari kita cek gradien garis yang menghubungkan pusat lingkaran (-3, -5) dengan titik (-7, -10).
Gradien = $m_{pusat,titik} = (-10 - (-5)) / (-7 - (-3)) = (-10 + 5) / (-7 + 3) = -5 / -4 = 5/4$.

Gradien garis singgung tegak lurus dengan gradien yang menghubungkan pusat dengan titik singgung. Jadi, gradien garis singgung $m_{garis singgung} = -1 / m_{pusat,titik} = -1 / (5/4) = -4/5$.

Persamaan garis singgung dengan gradien -4/5 yang melalui titik (-7, -10) adalah:
$y - y_1 = m(x - x_1)$
$y - (-10) = -4/5 (x - (-7))$
$y + 10 = -4/5 (x + 7)$
$5(y + 10) = -4(x + 7)$
$5y + 50 = -4x - 28$
$4x + 5y + 50 + 28 = 0$
$4x + 5y + 78 = 0$

Ada perbedaan hasil karena asumsi awal titik berada di dalam atau di luar lingkaran. Jika soal benar, maka titik berada di luar lingkaran, dan perhitungan $4x + 5y + 78 = 0$ adalah yang benar.