Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm. Titik

Ya, PQ dan RS bersilangan tegak lurus. Ini dapat dibuktikan dengan menggunakan sistem koordinat dan membuktikan bahwa hasil kali titik vektor PQ dan RS adalah nol.

Pembahasan

Soal ini meminta kita untuk membuktikan bahwa dua garis PQ dan RS bersilangan tegak lurus dalam sebuah kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a. Titik P dan Q adalah titik tengah rusuk HG dan FG. Titik R pada CG dengan CR = 3GR, dan titik S pada AE dengan ES = 3AS.

Langkah-langkah pembuktian:
1.  Tetapkan sistem koordinat:
    Misalkan A = (0,0,0), B = (a,0,0), D = (0,a,0), E = (0,0,a).
    Maka:
    C = (a,a,0)
    G = (a,a,a)
    H = (0,a,a)
    F = (a,0,a)

2.  Tentukan koordinat titik-titik P, Q, R, dan S:
    P adalah titik tengah HG: P = ((0+0)/2, (a+a)/2, (a+a)/2) = (0, a, a)
    Q adalah titik tengah FG: Q = ((a+a)/2, (0+a)/2, (a+a)/2) = (a, a/2, a)
    R pada CG dengan CR = 3GR. CG = (0,0,a) - (a,a,0) = (-a,-a,a). CR = 3/4 CG jika diukur dari G, atau 1/4 CG jika diukur dari C. Karena CR = 3GR, maka R membagi CG dengan perbandingan 3:1 dari G ke C. Maka, R = (1*G + 3*C) / (1+3) = (1*(0,a,a) + 3*(a,a,0)) / 4 = (3a, 4a, a) / 4 = (3a/4, a, a/4).
    S pada AE dengan ES = 3AS. AE = (0,0,a) - (0,0,0) = (0,0,a). ES = 3AS berarti S membagi AE dengan perbandingan 3:1 dari A ke E. Maka, S = (1*A + 3*E) / (1+3) = (1*(0,0,0) + 3*(0,0,a)) / 4 = (0,0,3a) / 4 = (0,0,3a/4).

    Mari kita koreksi koordinat R dan S berdasarkan definisi yang diberikan:
    R terletak pada rusuk CG. C=(a,a,0), G=(a,a,a). CR = 3GR. Vektor CG = G - C = (0,0,a).
    R = C + t * (G-C) = (a,a,0) + t*(0,0,a) = (a,a,ta).
    CR = |ta|. GR = |a-ta| = |a(1-t)|.
    |ta| = 3|a(1-t)|. Karena R di antara C dan G, maka 0 < t < 1.
    ta = 3a(1-t) => t = 3 - 3t => 4t = 3 => t = 3/4.
    Jadi, R = (a, a, 3a/4).

    S terletak pada rusuk AE. A=(0,0,0), E=(0,0,a). ES = 3AS.
    S = A + u * (E-A) = (0,0,0) + u*(0,0,a) = (0,0,ua).
    ES = |a-ua| = |a(1-u)|. AS = |ua| = |ua|.
    |a(1-u)| = 3|ua|. Karena S di antara A dan E, maka 0 < u < 1.
    a(1-u) = 3ua => a - ua = 3ua => a = 4ua => u = 1/4.
    Jadi, S = (0, 0, a/4).

3.  Tentukan vektor PQ dan RS:
    Vektor PQ = Q - P = (a, a/2, a) - (0, a, a) = (a, -a/2, 0)
    Vektor RS = S - R = (0, 0, a/4) - (a, a, 3a/4) = (-a, -a, -a/2)

4.  Periksa apakah PQ dan RS bersilangan tegak lurus.
    Dua vektor bersilangan tegak lurus jika hasil kali titik (dot product) mereka adalah nol.
    PQ · RS = (a)(-a) + (-a/2)(-a) + (0)(-a/2)
            = -a^2 + a^2/2 + 0
            = -a^2/2

    Hasil kali titiknya tidak sama dengan nol, sehingga PQ dan RS tidak bersilangan tegak lurus berdasarkan koordinat yang dihitung.

    Mari kita periksa kembali interpretasi soal atau koordinat:
    P titik tengah HG: H(0,a,a), G(a,a,a). P = (0+a)/2, (a+a)/2, (a+a)/2 = (a/2, a, a).
    Q titik tengah FG: F(a,0,a), G(a,a,a). Q = (a+a)/2, (0+a)/2, (a+a)/2 = (a, a/2, a).
    R pada CG, CR=3GR. C(a,a,0), G(a,a,a). CG = G-C = (0,0,a). R = C + (3/4)CG = (a,a,0) + (3/4)(0,0,a) = (a,a,3a/4).
    S pada AE, ES=3AS. A(0,0,0), E(0,0,a). AE = E-A = (0,0,a). S = A + (1/4)AE = (0,0,0) + (1/4)(0,0,a) = (0,0,a/4).

    Vektor PQ = Q - P = (a, a/2, a) - (a/2, a, a) = (a/2, -a/2, 0).
    Vektor RS = S - R = (0, 0, a/4) - (a, a, 3a/4) = (-a, -a, -a/2).

    PQ · RS = (a/2)(-a) + (-a/2)(-a) + (0)(-a/2)
            = -a^2/2 + a^2/2 + 0
            = 0

    Karena hasil kali titik PQ dan RS adalah 0, maka PQ dan RS bersilangan tegak lurus.

Jawaban ringkas: Dengan menetapkan sistem koordinat pada kubus dan menentukan vektor PQ serta RS, hasil kali titik kedua vektor tersebut adalah nol, yang membuktikan bahwa PQ dan RS bersilangan tegak lurus.