Persamaan garis singgung lingkaran x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12

Persamaan garis singgung lingkaran adalah $4x - 3y + 7 = 0$ atau $4x - 3y - 43 = 0$.

Pembahasan

Untuk menemukan persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$ yang tegak lurus dengan garis $3x + 4y - 10 = 0$, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1.  **Menentukan Pusat dan Jari-jari Lingkaran:**
    Persamaan umum lingkaran adalah $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, atau dalam bentuk $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$.
    Dari persamaan $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$, kita dapatkan:
    *   Pusat $(a, b) = (-rac{A}{2}, -rac{B}{2}) = (-rac{-6}{2}, -rac{4}{2}) = (3, -2)$.
    *   Jari-jari $r = rac{1}{2}\sqrt{A^2 + B^2 - 4C} = rac{1}{2}\sqrt{(-6)^2 + (4)^2 - 4(-12)} = rac{1}{2}\sqrt{36 + 16 + 48} = rac{1}{2}\sqrt{100} = rac{1}{2}(10) = 5$.

2.  **Menentukan Gradien Garis yang Diberikan:**
    Garis yang diberikan adalah $3x + 4y - 10 = 0$.
    Untuk mencari gradiennya ($m_1$), kita ubah ke bentuk $y = mx + c$:
    $4y = -3x + 10$
    $y = -rac{3}{4}x + rac{10}{4}$
    Jadi, gradien garis ini adalah $m_1 = -rac{3}{4}$.

3.  **Menentukan Gradien Garis Singgung:**
    Garis singgung lingkaran tegak lurus dengan garis $3x + 4y - 10 = 0$. Dua garis tegak lurus jika hasil kali gradiennya adalah -1 ($m_1 \times m_2 = -1$).
    $(-\frac{3}{4}) \times m_2 = -1$
    $m_2 = -1 / (-\frac{3}{4})$
    $m_2 = rac{4}{3}$.
    Jadi, gradien garis singgung adalah $rac{4}{3}$.

4.  **Mencari Persamaan Garis Singgung:**
    Persamaan garis singgung lingkaran $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ dengan gradien $m$ adalah:
    $(y-b) = m(x-a) \pm r \sqrt{m^2+1}$
    Substitusikan nilai pusat $(a,b) = (3, -2)$, jari-jari $r=5$, dan gradien $m = rac{4}{3}$:
    $(y - (-2)) = rac{4}{3}(x - 3) \pm 5 \sqrt{(\frac{4}{3})^2+1}$
    $y + 2 = rac{4}{3}(x - 3) \pm 5 \sqrt{\frac{16}{9}+1}$
    $y + 2 = rac{4}{3}(x - 3) \pm 5 \sqrt{\frac{16+9}{9}}$
    $y + 2 = rac{4}{3}(x - 3) \pm 5 \sqrt{\frac{25}{9}}$
    $y + 2 = rac{4}{3}(x - 3) \pm 5 (\frac{5}{3})$
    $y + 2 = rac{4}{3}(x - 3) \pm \frac{25}{3}$

    Kalikan seluruh persamaan dengan 3 untuk menghilangkan penyebut:
    $3(y + 2) = 4(x - 3) \pm 25$
    $3y + 6 = 4x - 12 \pm 25$

    Sekarang kita pisahkan menjadi dua kemungkinan:
    Kemungkinan 1 (menggunakan +25):
    $3y + 6 = 4x - 12 + 25$
    $3y + 6 = 4x + 13$
    $4x - 3y + 13 - 6 = 0$
    $4x - 3y + 7 = 0$

    Kemungkinan 2 (menggunakan -25):
    $3y + 6 = 4x - 12 - 25$
    $3y + 6 = 4x - 37$
    $4x - 3y - 37 - 6 = 0$
    $4x - 3y - 43 = 0$

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran yang tegak lurus dengan garis $3x + 4y - 10 = 0$ adalah $4x - 3y + 7 = 0$ atau $4x - 3y - 43 = 0$.