Persamaan garis yang melalui titik (4,-3) dan tegak lurus

Tidak ada pilihan yang benar berdasarkan perhitungan matematis. Namun, jika mengabaikan syarat tegak lurus dan hanya memeriksa titik, Pilihan A cocok.

Pembahasan

Soal ini meminta kita untuk mencari persamaan garis yang memenuhi dua kondisi: melalui titik (4,-3) dan tegak lurus dengan garis 4y - 6x + 10 = 0.

Langkah 1: Cari gradien garis 4y - 6x + 10 = 0.
Untuk mencari gradien, kita ubah persamaan garis ke bentuk y = mx + c, di mana m adalah gradien.
4y = 6x - 10
y = (6/4)x - 10/4
y = (3/2)x - 5/2
Jadi, gradien garis ini (m1) adalah 3/2.

Langkah 2: Cari gradien garis yang tegak lurus.
Jika dua garis tegak lurus, maka hasil kali gradiennya adalah -1 (m1 * m2 = -1).
(3/2) * m2 = -1
m2 = -1 / (3/2)
m2 = -2/3
Jadi, gradien garis yang kita cari adalah -2/3.

Langkah 3: Gunakan rumus persamaan garis dengan gradien dan satu titik (y - y1) = m(x - x1).
Kita punya gradien m = -2/3 dan titik (x1, y1) = (4, -3).
(y - (-3)) = (-2/3)(x - 4)
y + 3 = (-2/3)x + 8/3
Untuk menghilangkan pecahan, kalikan kedua sisi dengan 3:
3(y + 3) = 3 * ((-2/3)x + 8/3)
3y + 9 = -2x + 8
Pindahkan suku-suku ke satu sisi untuk mencocokkan dengan pilihan jawaban.
Mari kita coba mencocokkan dengan pilihan A: 2y + 3x = 6
Kita punya persamaan: 3y + 9 = -2x + 8
Pindahkan -2x ke sisi kiri dan 9 ke sisi kanan:
2x + 3y = 8 - 9
2x + 3y = -1
Pilihan jawaban A adalah 2y + 3x = 6. Mari kita ubah persamaan kita ke bentuk yang sama.
Kita memiliki 2x + 3y = -1. Jika kita mengalikan seluruh persamaan dengan -1, kita mendapatkan -2x - 3y = 1. Ini tidak cocok.
Mari kita periksa kembali perhitungan.

Persamaan garis: 4y - 6x + 10 = 0
4y = 6x - 10
y = (3/2)x - 5/2. Gradien m1 = 3/2.
Gradien tegak lurus m2 = -2/3.
Titik (4, -3).
(y - (-3)) = -2/3 (x - 4)
y + 3 = -2/3 x + 8/3
Kalikan dengan 3:
3y + 9 = -2x + 8
2x + 3y = 8 - 9
2x + 3y = -1

Mari kita periksa pilihan jawaban yang diberikan:
A. 2y + 3x = 6  => Gradien = -3/2
B. -2y + 3x = 6 => Gradien = -3/-2 = 3/2
C. 2y + 3x = -6 => Gradien = -3/2
D. 2y - 3x = 6  => Gradien = 3/2

Sepertinya ada kesalahan dalam pilihan jawaban yang diberikan atau dalam soalnya. Gradien yang kita dapatkan adalah -2/3. Tidak ada pilihan yang memiliki gradien -2/3.

Namun, jika kita mengasumsikan bahwa soal menanyakan persamaan garis yang **sejajar** dengan 4y - 6x + 10 = 0, maka gradiennya adalah 3/2. Pilihan B dan D memiliki gradien 3/2.
Mari kita coba masukkan titik (4,-3) ke pilihan B dan D.

Untuk B: -2y + 3x = 6
-2(-3) + 3(4) = 6 + 12 = 18. Tidak sama dengan 6.

Untuk D: 2y - 3x = 6
2(-3) - 3(4) = -6 - 12 = -18. Tidak sama dengan 6.

Mari kita periksa kembali persamaan asli dan pilihan jawaban.
Jika persamaan garisnya adalah 3x + 2y = k
Gradiennya adalah -3/2.
Titik (4,-3):
3(4) + 2(-3) = 12 - 6 = 6.
Jadi, persamaan 3x + 2y = 6 memiliki gradien -3/2 dan melalui titik (4,-3).

Namun, gradien garis tegak lurusnya adalah -2/3. Persamaan dengan gradien -2/3 yang melalui (4,-3) adalah:
2x + 3y = -1.

Jika kita lihat pilihan jawaban C: 2y + 3x = -6
Ini sama dengan 3x + 2y = -6. Gradiennya adalah -3/2.

Sepertinya ada kesalahan pada soal atau pilihan jawaban. Mari kita asumsikan ada kesalahan ketik pada pilihan jawaban dan cari yang paling mendekati atau coba ubah gradien soal.

Jika soal menanyakan garis yang **sejajar**, gradiennya 3/2. Persamaan 2y = 3x + c atau 3x - 2y = -c.
3(4) - 2(-3) = 12 + 6 = 18.
Maka 3x - 2y = 18.
Ini juga tidak ada di pilihan.

Mari kita kembali ke gradien -2/3 dan titik (4,-3).
Persamaan 2x + 3y = -1.
Mari kita lihat pilihan C lagi: 2y + 3x = -6. Ini bisa ditulis sebagai 3x + 2y = -6.

Ada kemungkinan soal asli menggunakan gradien yang berbeda atau titik yang berbeda.

Namun, jika kita **membalikkan logika** dan mencoba mencocokkan pilihan jawaban dengan kondisi tegak lurus dan melalui titik.

Gradien garis 4y - 6x + 10 = 0 adalah m1 = 3/2.
Gradien garis tegak lurus (m2) adalah -2/3.

Kita perlu mencari persamaan garis dengan gradien -2/3 yang melalui titik (4,-3).
Rumusnya adalah y - y1 = m(x - x1)
y - (-3) = -2/3 (x - 4)
y + 3 = -2/3 x + 8/3
Kalikan 3: 3y + 9 = -2x + 8
2x + 3y = -1

Mari kita periksa kembali pilihan jawaban dengan hati-hati.
Jika kita menganggap bahwa pilihan jawaban C: 2y + 3x = -6 adalah jawaban yang benar, mari kita lihat gradiennya.
3x + 2y = -6
2y = -3x - 6
y = -3/2 x - 3
Gradiennya adalah -3/2. Ini bukan -2/3.

Ada kemungkinan besar ada kesalahan dalam soal atau pilihan jawaban. Namun, jika dipaksa memilih, dan menganggap ada kesalahan ketik pada gradien dari soal asli atau pilihan jawaban.

Jika kita mengasumsikan soal menanyakan garis yang tegak lurus dengan garis dengan gradien **2/3** (bukan 3/2), maka gradien tegak lurusnya adalah -3/2.
Persamaan dengan gradien -3/2 melalui (4,-3):
y - (-3) = -3/2 (x - 4)
y + 3 = -3/2 x + 6
Kalikan 2: 2y + 6 = -3x + 12
3x + 2y = 6
Ini mirip dengan pilihan C (3x + 2y = -6), hanya berbeda konstanta.

Mari kita coba alternatif lain. Jika soal menanyakan garis yang tegak lurus dengan garis **-3/2 x + 2y + 10/4 = 0**.
Gradiennya adalah 3/2. Gradien tegak lurusnya adalah -2/3.

Karena tidak ada pilihan yang cocok dengan perhitungan yang benar, kita perlu berasumsi ada kesalahan dalam soal atau pilihan. Namun, dalam konteks ujian, kita harus memilih yang terdekat atau yang paling masuk akal.

Jika kita mengabaikan gradien dan hanya melihat titiknya:
Masukkan (4,-3) ke pilihan A: 2(-3) + 3(4) = -6 + 12 = 6. Cocok.
Masukkan (4,-3) ke pilihan B: -2(-3) + 3(4) = 6 + 12 = 18. Tidak cocok.
Masukkan (4,-3) ke pilihan C: 2(-3) + 3(4) = -6 + 12 = 6. Cocok. Pilihan C adalah 2y + 3x = -6. Jadi 2(-3) + 3(4) = -6 + 12 = 6. Ini TIDAK sama dengan -6.
Masukkan (4,-3) ke pilihan D: 2(-3) - 3(4) = -6 - 12 = -18. Tidak cocok.

Sepertinya hanya pilihan A yang cocok jika kita substitusi titiknya, tetapi gradiennya salah.

Mari kita periksa kembali perhitungan awal:
4y - 6x + 10 = 0  => y = (3/2)x - 5/2. m1 = 3/2.
m2 = -2/3.
Titik (4,-3).
y + 3 = -2/3 (x - 4)
3y + 9 = -2x + 8
2x + 3y = -1.

Jika kita coba ubah Pilihan A: 2y + 3x = 6  => 3x + 2y = 6. Gradien = -3/2.
Jika kita coba ubah Pilihan C: 2y + 3x = -6 => 3x + 2y = -6. Gradien = -3/2.

Jika soalnya adalah garis 6y - 4x + 10 = 0, maka 6y = 4x - 10 => y = (4/6)x - 10/6 => y = (2/3)x - 5/3. Gradien m1 = 2/3.
Gradien tegak lurus m2 = -3/2.
Dengan titik (4,-3):
y - (-3) = -3/2 (x - 4)
y + 3 = -3/2 x + 6
Kalikan 2: 2y + 6 = -3x + 12
3x + 2y = 6.
Ini cocok dengan jika kita mengabaikan tanda negatif pada pilihan C.
Jika pilihan C adalah 3x + 2y = 6, maka itu akan menjadi jawaban yang benar.

Namun, dengan pilihan yang ada dan soal yang diberikan, tidak ada jawaban yang benar secara matematis.

Jika kita terpaksa memilih berdasarkan pilihan yang diberikan dan asumsi kesalahan ketik pada soal.
Misalkan soal menanyakan persamaan garis yang **sejajar** dengan 4y - 6x + 10 = 0. Gradien = 3/2.
Persamaan dengan gradien 3/2 melalui (4,-3).
y + 3 = 3/2 (x - 4)
2y + 6 = 3x - 12
3x - 2y = 18.
Tidak ada di pilihan.

Mari kita lihat kembali Pilihan C: 2y + 3x = -6.
Ini bisa ditulis sebagai 3x + 2y = -6.
Jika kita masukkan titik (4,-3):
3(4) + 2(-3) = 12 - 6 = 6. Hasilnya 6, bukan -6.
Jadi, titik (4,-3) tidak melalui garis 3x + 2y = -6.

Ada kesalahan fatal dalam soal atau pilihan jawaban. Namun, jika kita mengasumsikan pilihan A benar (2y + 3x = 6), mari kita cek apakah gradiennya tegak lurus.
Gradien A: 3x + 2y = 6 => 2y = -3x + 6 => y = -3/2 x + 3. Gradien = -3/2.
Gradien soal = 3/2.
Hasil kali gradien = (3/2) * (-3/2) = -9/4. Tidak sama dengan -1.

Dalam kasus seperti ini, seringkali ada kesalahan penulisan pada soal atau pilihan. Jika kita **mengabaikan kondisi tegak lurus** dan hanya mencari persamaan yang melalui titik (4,-3), maka Pilihan A: 2y + 3x = 6, saat disubstitusi (4,-3) menjadi 2(-3) + 3(4) = -6 + 12 = 6, yang cocok.
Namun, ini mengabaikan syarat tegak lurus.

Karena instruksi meminta saya untuk memberikan jawaban yang benar berdasarkan soal, dan tidak ada pilihan yang benar, saya tidak dapat memberikan jawaban yang valid.