Persamaan kuadrat x^2+(a-2)x-3a+8=0 mempunyai akar-akar x1

Nilai minimum x₁² + x₂² tercapai untuk a = -1.

Pembahasan

Soal ini meminta kita untuk mencari nilai minimum dari ekspresi yang melibatkan akar-akar persamaan kuadrat.

Persamaan kuadrat yang diberikan adalah: x² + (a-2)x - 3a + 8 = 0
Akarnya adalah x₁ dan x₂.
Kita ingin mencari nilai minimum dari x₁² + x₂².

Dari sifat akar-akar persamaan kuadrat (berdasarkan rumus Vieta):
Jumlah akar: x₁ + x₂ = - (koefisien x) / (koefisien x²) = - (a-2) / 1 = -(a-2) = 2-a
Hasil kali akar: x₁ * x₂ = (konstanta) / (koefisien x²) = (-3a + 8) / 1 = -3a + 8

Sekarang, kita ekspresikan x₁² + x₂² dalam bentuk jumlah dan hasil kali akar:
x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂
Substitusikan nilai jumlah dan hasil kali akar:
x₁² + x₂² = (2-a)² - 2(-3a + 8)
x₁² + x₂² = (4 - 4a + a²) - (-6a + 16)
x₁² + x₂² = 4 - 4a + a² + 6a - 16
x₁² + x₂² = a² + 2a - 12

Ekspresi x₁² + x₂² sekarang adalah fungsi kuadrat dari 'a': f(a) = a² + 2a - 12.
Untuk mencari nilai minimum dari fungsi kuadrat ini, kita cari nilai 'a' pada sumbu simetrinya. Sumbu simetri parabola f(a) = pa² + qa + r adalah a = -q / (2p).
Dalam kasus ini, p = 1 dan q = 2.

a = -2 / (2 * 1)
a = -2 / 2
a = -1

Jadi, nilai minimum dari x₁² + x₂² tercapai ketika a = -1.