Persamaan lingkaran dengan pusat (3,4) dan menyinggung

(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 49/5

Pembahasan

Untuk menemukan persamaan lingkaran dengan pusat (3,4) yang menyinggung garis 2x-y+5=0, kita perlu menggunakan konsep jarak dari titik ke garis. Jari-jari lingkaran (r) sama dengan jarak dari pusat lingkaran ke garis singgung.
1. Rumus jarak dari titik (x0, y0) ke garis Ax + By + C = 0 adalah:
d = |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2)
Dalam kasus ini, titik pusat (x0, y0) adalah (3, 4) dan garisnya adalah 2x - y + 5 = 0. Jadi, A=2, B=-1, dan C=5.
2. Hitung jarak (jari-jari, r):
r = |2(3) + (-1)(4) + 5| / sqrt(2^2 + (-1)^2)
r = |6 - 4 + 5| / sqrt(4 + 1)
r = |7| / sqrt(5)
r = 7 / sqrt(5)
3. Kuadratkan jari-jari untuk mendapatkan r^2:
r^2 = (7 / sqrt(5))^2
r^2 = 49 / 5
4. Persamaan lingkaran dengan pusat (h, k) dan jari-jari r adalah (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2.
Dengan pusat (3, 4) dan r^2 = 49/5, persamaan lingkarannya adalah:
(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 49/5
Kita juga bisa mengalikannya dengan 5 untuk menghilangkan penyebut:
5(x - 3)^2 + 5(y - 4)^2 = 49
5(x^2 - 6x + 9) + 5(y^2 - 8y + 16) = 49
5x^2 - 30x + 45 + 5y^2 - 40y + 80 = 49
5x^2 + 5y^2 - 30x - 40y + 125 - 49 = 0
5x^2 + 5y^2 - 30x - 40y + 76 = 0.
Jadi, persamaan lingkarannya adalah (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 49/5 atau 5x^2 + 5y^2 - 30x - 40y + 76 = 0.