Persamaan (logx+log(x+a-1))/(log(a+5)) mempunyai akar-akar

Nilai $a$ adalah 37.

Pembahasan

Kita diberikan persamaan $(\log x + \log(x+a-1))/(\log(a+5))$ memiliki akar-akar $x_1$ dan $x_2$. Kita juga diberi tahu bahwa $a > 0$ dan $x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 = 36$. Kita perlu menentukan nilai $a$.

Pertama, mari kita sederhanakan persamaan logaritma menggunakan sifat logaritma: $\log A + \log B = \log(AB)$.
$(\log x + \log(x+a-1))/(\log(a+5)) = \log(x(x+a-1)) / \log(a+5)$

Agar persamaan ini memiliki akar-akar $x_1$ dan $x_2$, kita harus menganggap bahwa ekspresi di atas sama dengan sesuatu, atau bahwa pembilangnya adalah nol jika penyebutnya tidak nol. Namun, format soalnya agak ambigu. Asumsi yang paling masuk akal adalah bahwa persamaan tersebut menyiratkan bahwa $x_1$ dan $x_2$ adalah akar dari persamaan $\log x + \log(x+a-1) = k \log(a+5)$ untuk suatu konstanta $k$. Atau, mungkin persamaan tersebut setara dengan $x^2 + (a-1)x = C$ untuk konstanta $C$ yang bergantung pada $a$ dan penyebutnya.

Mari kita pertimbangkan interpretasi yang lebih sederhana: jika ekspresi tersebut adalah sebuah persamaan yang bernilai nol, maka pembilangnya harus nol:
$\log x + \log(x+a-1) = 0$
$\log(x(x+a-1)) = 0$
$x(x+a-1) = 10^0$
$x(x+a-1) = 1$
$x^2 + (a-1)x - 1 = 0$

Jika ini adalah persamaan kuadrat yang memiliki akar $x_1$ dan $x_2$, maka dari Vieta's formulas:
Jumlah akar: $x_1 + x_2 = -(a-1) = 1-a$
Hasil kali akar: $x_1 x_2 = -1$

Namun, kita diberikan informasi $x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 = 36$.
Kita bisa memfaktorkan ini menjadi $x_1 x_2 (x_1 + x_2) = 36$.

Substitusikan nilai dari Vieta's formulas:
$(-1) 	imes (1-a) = 36$
$-1 + a = 36$
$a = 36 + 1$
$a = 37$

Namun, kita perlu memeriksa syarat-syarat agar logaritma terdefinisi:
1. $x > 0$
2. $x+a-1 > 0$
3. $a+5 > 0$ dan $a+5 \ne 1$ (sehingga $\log(a+5) \ne 0$)

Karena $a > 0$, maka $a+5 > 5$, sehingga $a+5 > 0$ dan $a+5 \ne 1$ terpenuhi.

Sekarang kita perlu memeriksa apakah akar-akar dari $x^2 + (a-1)x - 1 = 0$ dengan $a=37$ memenuhi syarat $x > 0$ dan $x+a-1 > 0$.
Persamaan menjadi: $x^2 + (37-1)x - 1 = 0$
$x^2 + 36x - 1 = 0$

Dengan menggunakan rumus kuadrat $x = [-b \pm \sqrt{b^2-4ac}] / 2a$:
$x = [-36 \pm \sqrt{36^2 - 4(1)(-1)}] / 2(1)$
$x = [-36 \pm \sqrt{1296 + 4}] / 2$
$x = [-36 \pm \sqrt{1300}] / 2$
$x = [-36 \pm 10\sqrt{13}] / 2$
$x = -18 \pm 5\sqrt{13}$

Akar-akarnya adalah $x_1 = -18 + 5\sqrt{13}$ dan $x_2 = -18 - 5\sqrt{13}$.

Perhatikan bahwa $\sqrt{13}$ kira-kira 3.6. Maka $5\sqrt{13}$ kira-kira $5 	imes 3.6 = 18$.
Jadi, $x_1 \approx -18 + 18 = 0$. Namun, $5\sqrt{13} = \sqrt{25 	imes 13} = \sqrt{325}$. Karena $18^2 = 324$, maka $5\sqrt{13}$ sedikit lebih besar dari 18. Jadi, $x_1 = -18 + 5\sqrt{13}$ adalah positif.

Namun, $x_2 = -18 - 5\sqrt{13}$ jelas negatif. Syarat logaritma $x>0$ tidak terpenuhi untuk $x_2$. Ini menunjukkan bahwa interpretasi pertama mungkin salah.

Mari kita pertimbangkan interpretasi lain. Mungkin persamaan tersebut adalah:
$\log_k (x(x+a-1)) = \log_k (a+5)$ dimana $k = \log(a+5)$? Ini juga tidak masuk akal.

Kemungkinan lain adalah soal ini menyiratkan bahwa $x_1$ dan $x_2$ adalah akar dari $x(x+a-1) = (a+5)^k$ untuk beberapa $k$. Jika $k=1$, maka $x(x+a-1) = a+5$, yang memberikan $x^2 + (a-1)x - (a+5) = 0$.

Dalam kasus ini, dari Vieta's formulas:
$x_1 + x_2 = -(a-1) = 1-a$
$x_1 x_2 = -(a+5)$

Sekarang gunakan $x_1 x_2 (x_1 + x_2) = 36$:
$(-(a+5)) 	imes (1-a) = 36$
$-(a+5)(1-a) = 36$
$(a+5)(a-1) = 36$
$a^2 - a + 5a - 5 = 36$
$a^2 + 4a - 5 = 36$
$a^2 + 4a - 41 = 0$

Menggunakan rumus kuadrat untuk $a$:
$a = [-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(-41)}] / 2(1)$
$a = [-4 \pm \sqrt{16 + 164}] / 2$
$a = [-4 \pm \sqrt{180}] / 2$
$a = [-4 \pm \sqrt{36 	imes 5}] / 2$
$a = [-4 \pm 6\sqrt{5}] / 2$
$a = -2 \pm 3\sqrt{5}$

Karena diberikan $a > 0$, maka kita ambil $a = -2 + 3\sqrt{5}$.
$3\sqrt{5} = \sqrt{9 	imes 5} = \sqrt{45}$. Karena $6^2 = 36$ dan $7^2 = 49$, $\sqrt{45}$ berada di antara 6 dan 7. Jadi $a = -2 + 3\sqrt{5}$ adalah positif.

Sekarang kita perlu memeriksa syarat logaritma untuk $a = -2 + 3\sqrt{5}$.
$a+5 = -2 + 3\sqrt{5} + 5 = 3 + 3\sqrt{5} > 0$.
$a-1 = -2 + 3\sqrt{5} - 1 = -3 + 3\sqrt{5} = 3(\sqrt{5}-1)$. Karena $\sqrt{5} > 1$, maka $a-1 > 0$.

Kita perlu memeriksa akar-akar $x$ dari $x^2 + (a-1)x - (a+5) = 0$ dengan $a = -2 + 3\sqrt{5}$.
$a-1 = -3 + 3\sqrt{5}$
$a+5 = 3 + 3\sqrt{5}$

Persamaan menjadi $x^2 + (-3 + 3\sqrt{5})x - (3 + 3\sqrt{5}) = 0$.

Kita perlu memastikan bahwa kedua akar $x_1$ dan $x_2$ positif, dan $x+a-1 > 0$. Karena $x_1 x_2 = -(a+5)$ dan $a+5$ positif, maka satu akar positif dan satu akar negatif. Ini kembali bertentangan dengan syarat $x>0$. 

Mari kita kembali ke interpretasi awal $x^2 + (a-1)x - 1 = 0$ dengan $x_1 x_2 = -1$, $x_1 + x_2 = 1-a$ dan $x_1 x_2 (x_1 + x_2) = 36$. Ini menghasilkan $a=37$. Satu akar positif dan satu akar negatif. 

Mungkin soal ini mengacu pada $x_1$ dan $x_2$ sebagai akar dari $x(x+a-1) = C$ di mana $C$ adalah hasil dari $(a+5)$. Jika persamaan tersebut setara dengan $x^2 + (a-1)x = 	ext{sesuatu}$.

Jika soal merujuk pada $x^2 + (a-1)x = 36$? Ini tidak mungkin karena $a$ harus ditentukan.

Mari kita lihat lagi $x_1^2 x_2+x_1x_2^2 = x_1x_2(x_1+x_2) = 36$. 

Jika kita asumsikan persamaan logaritma menyederhanakan menjadi $x^2 + (a-1)x = C$ di mana $C$ adalah konstanta yang bergantung pada $a$. Dan kemudian $\log(C) / \log(a+5) = 	ext{suatu nilai}$.

Jika soal menyiratkan bahwa $\log(x(x+a-1))$ adalah sebuah konstanta, katakanlah $K$, dan $K / \log(a+5)$ adalah suatu nilai yang tidak ditentukan.

Asumsi yang paling logis untuk soal semacam ini adalah bahwa pembilang $= 0$ atau penyebut $= 0$, atau bahwa ekspresi tersebut adalah sebuah persamaan yang disederhanakan.

Jika ekspresi tersebut adalah sebuah persamaan, maka harus ada $= 0$ di akhir.
$(\log x + \log(x+a-1))/(\log(a+5)) = 0$
Ini mengarah ke $\log(x(x+a-1)) = 0$, yang memberikan $x^2 + (a-1)x - 1 = 0$. Ini memberikan $x_1 x_2 = -1$ dan $x_1+x_2 = 1-a$.
Dengan $x_1 x_2 (x_1+x_2) = 36$, kita dapatkan $(-1)(1-a) = 36$, yang menghasilkan $a=37$. Namun, akar-akarnya tidak memenuhi syarat logaritma.

Mari kita pertimbangkan kemungkinan bahwa soal ini memiliki kesalahan pengetikan atau interpretasi yang berbeda.
Jika kita mengasumsikan bahwa persamaan yang dimaksud adalah $x^2 + (a-1)x = K$, di mana $K$ terkait dengan $a+5$. 

Jika kita kembali ke $a^2 + 4a - 41 = 0$ yang berasal dari $x^2 + (a-1)x - (a+5) = 0$. Di sini $x_1 x_2 = -(a+5)$ dan $x_1+x_2 = 1-a$.
Syarat $x>0$ dan $x+a-1>0$. Karena $x_1x_2 < 0$, satu akar positif, satu negatif. Ini tidak bisa.

Mungkin soal ini merujuk pada $x_1$ dan $x_2$ sebagai akar dari $x^2 + (a-1)x = C$ dan ada informasi tambahan yang hilang.

Jika kita lihat kembali hasil $a=37$ dari interpretasi pertama. Mungkin ada konteks di mana akar negatif diabaikan atau ada cara lain untuk menafsirkan syaratnya.

Namun, jika kita harus memilih jawaban yang paling masuk akal dari manipulasi aljabar berdasarkan sifat logaritma:
Interpretasi 1: $(\log x + \log(x+a-1)) = 0$. Hasil: $a=37$. Syarat $x>0$ tidak terpenuhi untuk salah satu akar.
Interpretasi 2: $x(x+a-1) = a+5$. Hasil: $a = -2 \pm 3\sqrt{5}$. Dengan $a>0$, $a = -2 + 3\sqrt{5}$. Syarat $x>0$ tidak terpenuhi untuk salah satu akar.

Ada kemungkinan bahwa soal ini mengasumsikan bahwa kedua akar positif. Untuk $x^2 + (a-1)x - 1 = 0$, hasil kali akarnya $-1$, yang berarti tidak mungkin kedua akar positif.

Untuk $x^2 + (a-1)x - (a+5) = 0$, hasil kali akarnya $-(a+5)$. Karena $a>0$, maka $-(a+5)$ negatif, sehingga tidak mungkin kedua akar positif.

Kemungkinan lain adalah bahwa $x_1$ dan $x_2$ adalah akar dari $x^2 + (a-1)x = C$, dan $C = 	ext{suatu nilai}$. Dan ada informasi $\log(C) / \log(a+5) = 	ext{suatu nilai}$.

Jika kita kembali pada soal: "Persamaan (logx+log(x+a-1))/(log(a+5)) mempunyai akar-akar x1 dan x2." Ini menyiratkan bahwa ekspresi tersebut sama dengan $x$, atau bahwa ekspresi tersebut adalah sebuah persamaan yang setara dengan $x$. Ini tidak umum.

Jika kita asumsikan bahwa ini adalah sebuah persamaan yang disamakan dengan 0: $(\log x + \log(x+a-1))/(\log(a+5)) = 0$. Maka $\log(x(x+a-1))=0$, $x^2+(a-1)x-1=0$. $x_1x_2=-1$, $x_1+x_2=1-a$. $x_1x_2(x_1+x_2)=36 
ightarrow (-1)(1-a)=36 
ightarrow a=37$. 

Jika kita periksa kondisi $x>0$ dan $x+a-1>0$ untuk $a=37$: $x^2+36x-1=0$. Akar-akarnya adalah $-18 \pm 5\sqrt{13}$. Satu akar positif $(-18+5\sqrt{13})$, satu negatif. $x+a-1 = x+36$. Untuk akar positif, $-18+5\sqrt{13}+36 = 18+5\sqrt{13} > 0$. Syarat $x>0$ tidak terpenuhi untuk akar negatif.

Mari kita pertimbangkan kemungkinan lain. Jika soal ini menyiratkan bahwa $(\log x + \log(x+a-1)) = \log(a+5)$. Maka $x(x+a-1) = a+5$. $x^2+(a-1)x-(a+5)=0$. $x_1x_2=-(a+5)$, $x_1+x_2=1-a$. $x_1x_2(x_1+x_2)=36 
ightarrow -(a+5)(1-a)=36 
ightarrow (a+5)(a-1)=36 
ightarrow a^2+4a-5=36 
ightarrow a^2+4a-41=0$. $a = -2+3\sqrt{5}$ (karena $a>0$).

Periksa syarat: $a-1 = -3+3\sqrt{5} > 0$. $a+5 = 3+3\sqrt{5} > 0$. Persamaan kuadratnya $x^2 + (-3+3\sqrt{5})x - (3+3\sqrt{5}) = 0$. Hasil kali akar $x_1x_2 = -(3+3\sqrt{5}) < 0$. Lagi-lagi, satu akar positif, satu negatif. Syarat $x>0$ tidak terpenuhi untuk salah satu akar.

Mengingat ambiguitas dan kemungkinan ketidaksesuaian antara kondisi soal dan syarat logaritma, kita harus memilih interpretasi yang paling mungkin menghasilkan solusi yang konsisten, atau mengakui ambiguitasnya.

Jika kita berpegang pada interpretasi pertama yang menghasilkan $a=37$ dengan $x_1x_2=-1$ dan $x_1+x_2=1-a$, dan $x_1x_2(x_1+x_2)=36$. Ini adalah manipulasi aljabar yang paling langsung dari sifat logaritma jika persamaan disamakan dengan nol.

Namun, karena kondisi $x>0$ sangat penting dalam logaritma, dan interpretasi ini menghasilkan akar negatif, ada masalah mendasar. 

Jika kita harus memberikan jawaban, dan mengabaikan ketidaksesuaian syarat logaritma karena kemungkinan kesalahan soal, maka $a=37$ adalah hasil dari manipulasi yang paling langsung dari sifat logaritma jika diasumsikan ekspresi = 0.

Mari kita cek apakah ada interpretasi lain yang lebih mungkin.
Jika $a=3$, maka $x^2+2x-1=0$. $x_1+x_2=-2$, $x_1x_2=-1$. $x_1x_2(x_1+x_2)=(-1)(-2)=2 
e 36$.
Jika $a=7$, maka $x^2+6x-1=0$. $x_1+x_2=-6$, $x_1x_2=-1$. $x_1x_2(x_1+x_2)=(-1)(-6)=6 
e 36$.

Jika kita pertimbangkan $a=37$: $x^2+36x-1=0$. $x_1+x_2=-36$, $x_1x_2=-1$. $x_1x_2(x_1+x_2)=(-1)(-36)=36$. Ini cocok dengan kondisi $x_1^2x_2+x_1x_2^2=36$. Dengan asumsi bahwa ekspresi logaritma itu sendiri adalah sebuah persamaan yang bernilai 0, maka $a=37$ adalah jawabannya, meskipun ada masalah dengan domain logaritma.

Karena pertanyaan meminta nilai $a$, dan $a=37$ adalah hasil dari penerapan sifat logaritma dan Vieta's formulas pada asumsi ekspresi = 0, ini adalah jawaban yang paling mungkin jika soal tersebut valid.

Untuk soal ini, kita harus mengasumsikan bahwa "Persamaan ... mempunyai akar-akar x1 dan x2" berarti bahwa ekspresi tersebut disamakan dengan 0. 

$(\log x + \log(x+a-1))/(\log(a+5)) = 0$
$\\log(x(x+a-1)) = 0$
$x(x+a-1) = 10^0$
$x^2 + (a-1)x - 1 = 0$

Dari sini, $x_1 + x_2 = -(a-1) = 1-a$ dan $x_1 x_2 = -1$.
Diketahui $x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2 = 36$.
$x_1 x_2 (x_1 + x_2) = 36$
$(-1)(1-a) = 36$
$-1 + a = 36$
$a = 37$

Verifikasi: Dengan $a=37$, persamaan kuadratnya adalah $x^2 + (37-1)x - 1 = 0$, yaitu $x^2 + 36x - 1 = 0$. 
Akar-akarnya adalah $x = \frac{-36 \pm \sqrt{36^2 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-36 \pm \sqrt{1296+4}}{2} = \frac{-36 \pm \sqrt{1300}}{2} = \frac{-36 \pm 10\sqrt{13}}{2} = -18 \pm 5\sqrt{13}$.
$x_1 = -18 + 5\sqrt{13}$ dan $x_2 = -18 - 5\sqrt{13}$.
$x_1 > 0$ karena $5\sqrt{13} = \sqrt{325}$ dan $18 = \sqrt{324}$.
$x_2 < 0$.
Syarat logaritma adalah $x>0$ dan $x+a-1>0$.
Untuk $x_1$, $x_1 > 0$. $x_1 + a - 1 = (-18 + 5\sqrt{13}) + 37 - 1 = 18 + 5\sqrt{13} > 0$. 
Untuk $x_2$, $x_2 < 0$, sehingga syarat logaritma tidak terpenuhi. 

Namun, jika kita mengabaikan ketidaksesuaian domain logaritma dan fokus pada manipulasi aljabar, maka $a=37$ adalah hasil yang diperoleh.