Pertidaksamaan 25-|10x+5| >= |40x-20| memiliki penyelesaian

Penyelesaiannya adalah 0 ≤ x ≤ 4/5.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan 25 - |10x + 5| ≥ |40x - 20|, kita perlu menganalisis nilai mutlaknya. Pertama, perhatikan bahwa |40x - 20| = |4(10x - 5)| = 4|10x - 5|. Juga, |10x + 5| = |5(2x + 1)| dan |40x - 20| = |20(2x - 1)|.

Pertidaksamaan menjadi:
25 - |10x + 5| ≥ 4|10x - 5|

Kita perlu mempertimbangkan beberapa kasus berdasarkan tanda dari ekspresi di dalam nilai mutlak.

Kasus 1: 10x + 5 ≥ 0 dan 10x - 5 ≥ 0
Ini terjadi ketika x ≥ -1/2 dan x ≥ 1/2, yaitu x ≥ 1/2.
Dalam kasus ini, |10x + 5| = 10x + 5 dan |10x - 5| = 10x - 5.
Pertidaksamaan menjadi:
25 - (10x + 5) ≥ 4(10x - 5)
25 - 10x - 5 ≥ 40x - 20
20 - 10x ≥ 40x - 20
40 ≥ 50x
x ≤ 40/50
x ≤ 4/5
Karena kita mengasumsikan x ≥ 1/2, maka penyelesaian untuk kasus ini adalah 1/2 ≤ x ≤ 4/5.

Kasus 2: 10x + 5 < 0 dan 10x - 5 < 0
Ini terjadi ketika x < -1/2 dan x < 1/2, yaitu x < -1/2.
Dalam kasus ini, |10x + 5| = -(10x + 5) dan |10x - 5| = -(10x - 5).
Pertidaksamaan menjadi:
25 - (-(10x + 5)) ≥ 4(-(10x - 5))
25 + 10x + 5 ≥ -40x + 20
30 + 10x ≥ -40x + 20
50x ≥ -10
x ≥ -10/50
x ≥ -1/5
Namun, kita mengasumsikan x < -1/2, dan tidak ada nilai x yang memenuhi x < -1/2 dan x ≥ -1/5. Jadi, tidak ada penyelesaian dalam kasus ini.

Kasus 3: 10x + 5 ≥ 0 dan 10x - 5 < 0
Ini terjadi ketika x ≥ -1/2 dan x < 1/2, yaitu -1/2 ≤ x < 1/2.
Dalam kasus ini, |10x + 5| = 10x + 5 dan |10x - 5| = -(10x - 5).
Pertidaksamaan menjadi:
25 - (10x + 5) ≥ 4(-(10x - 5))
25 - 10x - 5 ≥ -40x + 20
20 - 10x ≥ -40x + 20
30x ≥ 0
x ≥ 0
Karena kita mengasumsikan -1/2 ≤ x < 1/2, maka penyelesaian untuk kasus ini adalah 0 ≤ x < 1/2.

Kasus 4: 10x + 5 < 0 dan 10x - 5 ≥ 0
Ini terjadi ketika x < -1/2 dan x ≥ 1/2. Hal ini tidak mungkin terjadi.

Menggabungkan penyelesaian dari kasus 1 dan kasus 3:
[1/2, 4/5] ∪ [0, 1/2) = [0, 4/5].

Penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah 0 ≤ x ≤ 4/5.