Pertidaksamaan (2x-1)/(x-3)<=1 dipenuhi oleh ...

-2 \(\le x < 3\)

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan \((2x-1)/(x-3) \le 1\), kita perlu membawa semua suku ke satu sisi dan mencari penyebut bersama.
\((2x-1)/(x-3) - 1 \le 0\)
\((2x-1 - (x-3))/(x-3) \le 0\)
\((2x-1 - x + 3)/(x-3) \le 0\)
\((x+2)/(x-3) \le 0\)

Sekarang kita cari nilai x yang membuat pembilang nol dan penyebut nol.
Pembilang: x + 2 = 0  => x = -2
Penyebut: x - 3 = 0  => x = 3

Nilai-nilai ini membagi garis bilangan menjadi tiga interval: (-∞, -2], [-2, 3), dan (3, ∞). Kita uji nilai dari setiap interval:

1. Interval (-∞, -2]: Pilih x = -3
   ((-3)+2)/(-3-3) = (-1)/(-6) = 1/6.  1/6 tidak \(\le 0\).

2. Interval [-2, 3): Pilih x = 0
   (0+2)/(0-3) = 2/(-3) = -2/3. -2/3 \(\le 0\). Interval ini memenuhi.

3. Interval (3, ∞): Pilih x = 4
   (4+2)/(4-3) = 6/1 = 6. 6 tidak \(\le 0\).

Selain itu, kita harus memastikan bahwa penyebut tidak nol, jadi x \(\ne 3\).
Pertidaksamaan \(\le 0\) berarti kita mencari di mana ekspresi bernilai negatif atau nol. Ekspresi menjadi nol ketika pembilang nol (x=-2) dan negatif ketika pembilang positif dan penyebut negatif, atau pembilang negatif dan penyebut positif.

- Pembilang positif (x+2 > 0 => x > -2) dan penyebut negatif (x-3 < 0 => x < 3) => -2 < x < 3
- Pembilang negatif (x+2 < 0 => x < -2) dan penyebut positif (x-3 > 0 => x > 3) => Tidak ada solusi untuk kasus ini.

Karena pertidaksamaan menyertakan \(\le\) (kurang dari atau sama dengan), kita sertakan nilai x = -2.
Jadi, solusi pertidaksamaan adalah -2 \(\le x < 3\).

Jawaban yang benar adalah interval -2 \(\le x < 3\).