Pertidaksamaan |(2x+7)/(x-1)|>=1 dipenuhi oleh x dalam

(-∞, -8] U [-2, 1) U (1, ∞)

Pembahasan

Kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak |(2x+7)/(x-1)| >= 1.

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak jenis |f(x)| >= c, kita bisa memecahnya menjadi dua pertidaksamaan:
1. f(x) >= c
2. f(x) <= -c

Dalam kasus ini, f(x) = (2x+7)/(x-1) dan c = 1.

Perlu diperhatikan bahwa penyebut (x-1) tidak boleh sama dengan nol, sehingga x != 1.

Kasus 1: (2x+7)/(x-1) >= 1
(2x+7)/(x-1) - 1 >= 0
(2x+7 - (x-1))/(x-1) >= 0
(2x+7 - x + 1)/(x-1) >= 0
(x+8)/(x-1) >= 0

Untuk pertidaksamaan ini, kita cari titik kritis di mana pembilang atau penyebut sama dengan nol:
x + 8 = 0  => x = -8
x - 1 = 0  => x = 1

Kita uji interval:
- Jika x < -8 (misal x = -9): (-9+8)/(-9-1) = -1/-10 = 1/10 (positif) -> Memenuhi
- Jika -8 <= x < 1 (misal x = 0): (0+8)/(0-1) = 8/-1 = -8 (negatif) -> Tidak Memenuhi
- Jika x > 1 (misal x = 2): (2+8)/(2-1) = 10/1 = 10 (positif) -> Memenuhi

Jadi, dari Kasus 1, solusinya adalah x <= -8 atau x > 1.

Kasus 2: (2x+7)/(x-1) <= -1
(2x+7)/(x-1) + 1 <= 0
(2x+7 + (x-1))/(x-1) <= 0
(2x+7 + x - 1)/(x-1) <= 0
(3x+6)/(x-1) <= 0
3(x+2)/(x-1) <= 0

Cari titik kritis:
x + 2 = 0  => x = -2
x - 1 = 0  => x = 1

Kita uji interval:
- Jika x < -2 (misal x = -3): 3(-3+2)/(-3-1) = 3(-1)/(-4) = -3/-4 = 3/4 (positif) -> Tidak Memenuhi
- Jika -2 <= x < 1 (misal x = 0): 3(0+2)/(0-1) = 3(2)/(-1) = 6/-1 = -6 (negatif) -> Memenuhi
- Jika x > 1 (misal x = 2): 3(2+2)/(2-1) = 3(4)/1 = 12 (positif) -> Tidak Memenuhi

Jadi, dari Kasus 2, solusinya adalah -2 <= x < 1.

Menggabungkan solusi dari kedua kasus:
Solusi gabungan = {x | x <= -8} U {x | x > 1} U {x | -2 <= x < 1}

Karena x > 1 dan -2 <= x < 1 tidak tumpang tindih secara langsung, kita perlu menggabungkannya dengan benar. Interval -2 <= x < 1 valid, dan interval x > 1 juga valid.

Jadi, solusi gabungan yang memenuhi adalah: x <= -8 atau -2 <= x < 1 atau x > 1.

Ini bisa ditulis sebagai interval: (-inf, -8] U [-2, 1) U (1, inf).

Jika kita perhatikan kembali, gabungan (-2, 1) U (1, inf) adalah sama dengan semua bilangan real kecuali 1. Namun, kita harus menggabungkannya dengan x <= -8.

Jadi, interval yang memenuhi adalah x <= -8 atau x >= -2, dengan pengecualian x = 1.

Solusinya adalah: x 	in	 (-\infty, -8] \cup [-2, 1) \cup (1, \infty).

Atau jika kita melihat pada garis bilangan, kita memiliki: 
[-----(-8)] ....... [-2------(1)) ..... (1------inf)

Jadi intervalnya adalah x <= -8 atau -2 <= x < 1 atau x > 1. Ini adalah himpunan semua bilangan real kecuali nilai antara -8 dan -2 (eksklusif -8, inklusif -2) dan nilai 1.

Pertidaksamaan |(2x+7)/(x-1)| >= 1 dipenuhi oleh x dalam interval (-∞, -8] U [-2, 1) U (1, ∞).