Pertidaksamaan (3x^2 - x - 8)/ (x^2 + x - 2) <= 2 mempunyai

(-2, -1] U (1, 4]

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan (3x^2 - x - 8) / (x^2 + x - 2) ≤ 2, kita perlu memindah semua suku ke satu sisi agar menjadi perbandingan dengan nol.

(3x^2 - x - 8) / (x^2 + x - 2) - 2 ≤ 0

Samakan penyebutnya:
[ (3x^2 - x - 8) - 2(x^2 + x - 2) ] / (x^2 + x - 2) ≤ 0
[ 3x^2 - x - 8 - 2x^2 - 2x + 4 ] / (x^2 + x - 2) ≤ 0
[ x^2 - 3x - 4 ] / (x^2 + x - 2) ≤ 0

Sekarang faktorkan pembilang dan penyebut:
Pembilang: x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1)
Penyebut: x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)

Pertidaksamaan menjadi: [(x - 4)(x + 1)] / [(x + 2)(x - 1)] ≤ 0

Selanjutnya, kita tentukan pembuat nol dari pembilang dan penyebut:
x - 4 = 0 => x = 4
x + 1 = 0 => x = -1
x + 2 = 0 => x = -2 (tidak boleh sama dengan nol)
x - 1 = 0 => x = 1 (tidak boleh sama dengan nol)

Kita uji interval yang dibentuk oleh nilai-nilai ini (-∞, -2), (-2, -1], [-1, 1), (1, 4], (4, ∞) dengan memilih nilai uji dari setiap interval.

Interval (-∞, -2): Uji x = -3. Hasil: (negatif * negatif) / (negatif * negatif) = positif. Tidak memenuhi.
Interval (-2, -1]: Uji x = -1.5. Hasil: (negatif * negatif) / (positif * negatif) = negatif. Memenuhi.
Interval [-1, 1): Uji x = 0. Hasil: (negatif * positif) / (positif * negatif) = positif. Tidak memenuhi.
Interval (1, 4]: Uji x = 2. Hasil: (negatif * positif) / (positif * positif) = negatif. Memenuhi.
Interval (4, ∞): Uji x = 5. Hasil: (positif * positif) / (positif * positif) = positif. Tidak memenuhi.

Perhatikan bahwa x = -1 dan x = 4 termasuk dalam penyelesaian karena pertidaksamaan menggunakan '≤' dan mereka berasal dari pembilang. Nilai x = -2 dan x = 1 tidak termasuk karena berasal dari penyebut.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-2 < x ≤ -1 atau 1 < x ≤ 4}.