Pertidaksamaan 4^(2logx) -2 . 2^(2logx) < 3 dipenuhi oleh

$0 < x < 10^{^4\text{log}3}$

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan $4^{\text{2log}x} - 2 \cdot 2^{\text{2log}x} < 3$, kita dapat melakukan substitusi. Misalkan $y = 2^{\text{2log}x}$. Maka, pertidaksamaan tersebut menjadi:

$$(2^2)^{\text{2log}x} - 2 \cdot 2^{\text{2log}x} < 3$$
$$(2^{\text{2log}x})^2 - 2 \cdot 2^{\text{2log}x} < 3$$
$$y^2 - 2y < 3$$
$$y^2 - 2y - 3 < 0$$
$$(y-3)(y+1) < 0$$

Dari pertidaksamaan kuadrat ini, kita mendapatkan solusi $-1 < y < 3$.

Sekarang, kita substitusikan kembali $y = 2^{\text{2log}x}$:
$$-1 < 2^{\text{2log}x} < 3$$

Karena $2^{\text{2log}x}$ selalu bernilai positif, maka kondisi $2^{\text{2log}x} > -1$ selalu terpenuhi. Kita hanya perlu memperhatikan $2^{\text{2log}x} < 3$.

Untuk menyelesaikan $2^{\text{2log}x} < 3$, kita gunakan sifat logaritma. Ingat bahwa $\text{log}x$ adalah logaritma basis 10. Jadi, kita bisa menulis:
$$2 \cdot \text{log}x = \text{log}(x^2)$$
Maka pertidaksamaan menjadi:
$$2^{\text{log}(x^2)} < 3$$

Untuk menyelesaikan ini, kita bisa mengambil logaritma pada kedua sisi (misalnya, dengan basis 10):
$$\text{log}(2^{\text{log}(x^2)}) < \text{log}3$$
$$(\text{log}(x^2)) \cdot \text{log}2 < \text{log}3$$
$$2 \cdot \text{log}x \cdot \text{log}2 < \text{log}3$$
$$(\text{log}x) \cdot (2 \cdot \text{log}2) < \text{log}3$$
$$(\text{log}x) \cdot (\text{log}2^2) < \text{log}3$$
$$(\text{log}x) \cdot (\text{log}4) < \text{log}3$$
$$\text{log}x < \frac{\text{log}3}{\text{log}4}$$
$$\text{log}x < {^4\text{log}3}$$

Karena basis logaritma (10) lebih besar dari 1, fungsi logaritma adalah fungsi naik, sehingga kita dapat menghilangkan logaritma pada kedua sisi:
$$x < 10^{^4\text{log}3}$$

Namun, kita juga perlu memperhatikan domain dari $\text{log}x$, yaitu $x > 0$.

Jadi, solusi pertidaksamaan ini adalah $0 < x < 10^{^4\text{log}3}$.

**Catatan:** Soal ini melibatkan pemahaman tentang sifat-sifat eksponensial dan logaritma, termasuk substitusi dan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat serta pertidaksamaan logaritma.