Kelas 12Kelas 10Kelas 11mathEksponen Dan Logaritma
Pertidaksamaan 4^(2logx) -2 . 2^(2logx) < 3 dipenuhi oleh
Pertanyaan
Pertidaksamaan $4^{\text{2log}x} - 2 \cdot 2^{\text{2log}x} < 3$ dipenuhi oleh interval nilai x berapa?
Solusi
Verified
$0 < x < 10^{^4\text{log}3}$
Pembahasan
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan $4^{\text{2log}x} - 2 \cdot 2^{\text{2log}x} < 3$, kita dapat melakukan substitusi. Misalkan $y = 2^{\text{2log}x}$. Maka, pertidaksamaan tersebut menjadi: $$(2^2)^{\text{2log}x} - 2 \cdot 2^{\text{2log}x} < 3$$ $$(2^{\text{2log}x})^2 - 2 \cdot 2^{\text{2log}x} < 3$$ $$y^2 - 2y < 3$$ $$y^2 - 2y - 3 < 0$$ $$(y-3)(y+1) < 0$$ Dari pertidaksamaan kuadrat ini, kita mendapatkan solusi $-1 < y < 3$. Sekarang, kita substitusikan kembali $y = 2^{\text{2log}x}$: $$-1 < 2^{\text{2log}x} < 3$$ Karena $2^{\text{2log}x}$ selalu bernilai positif, maka kondisi $2^{\text{2log}x} > -1$ selalu terpenuhi. Kita hanya perlu memperhatikan $2^{\text{2log}x} < 3$. Untuk menyelesaikan $2^{\text{2log}x} < 3$, kita gunakan sifat logaritma. Ingat bahwa $\text{log}x$ adalah logaritma basis 10. Jadi, kita bisa menulis: $$2 \cdot \text{log}x = \text{log}(x^2)$$ Maka pertidaksamaan menjadi: $$2^{\text{log}(x^2)} < 3$$ Untuk menyelesaikan ini, kita bisa mengambil logaritma pada kedua sisi (misalnya, dengan basis 10): $$\text{log}(2^{\text{log}(x^2)}) < \text{log}3$$ $$(\text{log}(x^2)) \cdot \text{log}2 < \text{log}3$$ $$2 \cdot \text{log}x \cdot \text{log}2 < \text{log}3$$ $$(\text{log}x) \cdot (2 \cdot \text{log}2) < \text{log}3$$ $$(\text{log}x) \cdot (\text{log}2^2) < \text{log}3$$ $$(\text{log}x) \cdot (\text{log}4) < \text{log}3$$ $$\text{log}x < \frac{\text{log}3}{\text{log}4}$$ $$\text{log}x < {^4\text{log}3}$$ Karena basis logaritma (10) lebih besar dari 1, fungsi logaritma adalah fungsi naik, sehingga kita dapat menghilangkan logaritma pada kedua sisi: $$x < 10^{^4\text{log}3}$$ Namun, kita juga perlu memperhatikan domain dari $\text{log}x$, yaitu $x > 0$. Jadi, solusi pertidaksamaan ini adalah $0 < x < 10^{^4\text{log}3}$. **Catatan:** Soal ini melibatkan pemahaman tentang sifat-sifat eksponensial dan logaritma, termasuk substitusi dan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat serta pertidaksamaan logaritma.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Pertidaksamaan Logaritma, Pertidaksamaan Eksponensial
Section: Sifat Sifat Logaritma, Pertidaksamaan
Apakah jawaban ini membantu?