Pertidaksamaan (x^2 + x - 12)/(2x^2 + 9x + 4) <= 0 berlaku

Himpunan penyelesaiannya adalah \(-1/2 < x \le 3\).

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan \(\(x^2 + x - 12\)/(2x^2 + 9x + 4)\) \(\le\) 0, kita perlu mencari akar-akar dari pembilang dan penyebut terlebih dahulu.

Pembilang: \(x^2 + x - 12 = 0\)
Faktorkan: \((x + 4)(x - 3) = 0\)
Akar-akar pembilang adalah \(x = -4\) dan \(x = 3\).

Penyebut: \(2x^2 + 9x + 4 = 0\)
Faktorkan: \((2x + 1)(x + 4) = 0\)
Akar-akar penyebut adalah \(x = -1/2\) dan \(x = -4\).

Perhatikan bahwa \(x = -4\) adalah akar yang sama untuk pembilang dan penyebut. Ini berarti ada faktor yang bisa dibatalkan, namun kita harus tetap memperhatikan bahwa penyebut tidak boleh nol, sehingga \(x \ne -4\) dan \(x \ne -1/2\).

Pertidaksamaan menjadi: \((x + 4)(x - 3) / ((2x + 1)(x + 4)) \le 0\).
Karena \(x \ne -4\), kita bisa menyederhanakannya menjadi \((x - 3) / (2x + 1)\) \(\le 0\).

Sekarang kita buat garis bilangan dengan akar \(x = 3\) (dari pembilang) dan \(x = -1/2\) (dari penyebut).

Uji interval:
1. \(x < -1/2\): Ambil \(x = -1\). Maka \((-1 - 3) / (2(-1) + 1)\) = \(-4\)/\(-1\) = 4 \(> 0\).
2. \(-1/2 < x < 3\): Ambil \(x = 0\). Maka \((0 - 3) / (2(0) + 1)\) = \(-3\)/1 = -3 \(\le 0\).
3. \(x > 3\): Ambil \(x = 4\). Maka \((4 - 3) / (2(4) + 1)\) = \(1\)/9 \(> 0\).

Himpunan penyelesaiannya adalah interval di mana nilainya \(\le 0\), yaitu \(-1/2 < x \le 3\). Namun, kita juga harus mempertimbangkan bahwa \(x \ne -4\). Karena interval ini tidak mencakup \(x = -4\), maka tidak ada batasan tambahan yang perlu diberlakukan.

Jadi, pertidaksamaan \(\(x^2 + x - 12\)/(2x^2 + 9x + 4)\) \(\le 0\) berlaku untuk \(-1/2 < x \le 3\).