Peta dari titik A(2, 5) yang direfleksikan secaraberurutan

Lakukan refleksi pertama terhadap $y=-2x$, lalu refleksikan hasilnya terhadap $y = \frac{1}{2}x + 5$.

Pembahasan

Untuk mencari peta dari titik A(2, 5) yang direfleksikan secara berurutan terhadap garis $y = -2x$ dan $y = \frac{1}{2}x + 5$, kita lakukan langkah-langkah berikut:

**Langkah 1: Refleksi terhadap garis $y = -2x$**
Rumus umum untuk refleksi titik $(x, y)$ terhadap garis $y = mx$ adalah $(x', y')$, di mana:
$x' = \frac{(1-m^2)x + 2my}{1+m^2}$
$y' = \frac{2mx - (1-m^2)y}{1+m^2}$

Dalam kasus ini, $m = -2$. Titik A adalah (2, 5).

$x'_1 = \frac{(1-(-2)^2)(2) + 2(-2)(5)}{1+(-2)^2} = \frac{(1-4)(2) - 20}{1+4} = \frac{-3(2) - 20}{5} = \frac{-6 - 20}{5} = \frac{-26}{5}$

$y'_1 = \frac{2(-2)(2) - (1-(-2)^2)(5)}{1+(-2)^2} = \frac{-4(2) - (1-4)(5)}{5} = \frac{-8 - (-3)(5)}{5} = \frac{-8 + 15}{5} = \frac{7}{5}$

Jadi, setelah refleksi pertama, titik A' adalah $(\frac{-26}{5}, \frac{7}{5})$.

**Langkah 2: Refleksi titik A' $(\frac{-26}{5}, \frac{7}{5})$ terhadap garis $y = \frac{1}{2}x + 5$**
Perlu diperhatikan bahwa garis kedua $y = \frac{1}{2}x + 5$ tidak melalui titik asal. Refleksi terhadap garis yang tidak melalui titik asal lebih kompleks. Namun, kita bisa melihat hubungan antara kedua garis. Gradien garis pertama adalah $m_1 = -2$. Gradien garis kedua adalah $m_2 = \frac{1}{2}$.

Karena $m_1 	imes m_2 = -2 	imes \frac{1}{2} = -1$, kedua garis tersebut saling tegak lurus.

Selain itu, mari kita periksa apakah titik potong kedua garis adalah titik yang relevan. Titik potong dapat ditemukan dengan menyamakan kedua persamaan:
$-2x = \frac{1}{2}x + 5$
$-4x = x + 10$
$-5x = 10$
$x = -2$

Jika $x = -2$, maka $y = -2(-2) = 4$. Jadi, titik potong kedua garis adalah (-2, 4).

Ketika sebuah titik direfleksikan terhadap garis, dan kemudian hasil refleksi tersebut direfleksikan lagi terhadap garis lain yang tegak lurus dengannya, transformasi gabungannya adalah rotasi sebesar 90 derajat (atau -90 derajat) di sekitar titik potong kedua garis.

Titik A' adalah $(\frac{-26}{5}, \frac{7}{5}) = (-5.2, 1.4)$. Titik potong P adalah (-2, 4).

Untuk melakukan refleksi kedua, kita bisa menggeser sistem koordinat sehingga titik potong menjadi titik asal. Geser titik A' sebesar (2, -4):
$A''_{shifted} = (-5.2 + 2, 1.4 - 4) = (-3.2, -2.6)$

Sekarang, kita perlu mencerminkan $(-3.2, -2.6)$ terhadap garis $y' = \frac{1}{2}(x' + 2) - 4$ yang disederhanakan dari $y = \frac{1}{2}x + 5$ setelah pergeseran. Perlu diingat bahwa garis $y = rac{1}{2}x + 5$ memiliki gradien $rac{1}{2}$.

Cara yang lebih mudah adalah mengenali bahwa refleksi terhadap dua garis yang tegak lurus menghasilkan rotasi. Karena refleksi pertama adalah terhadap $y = -2x$ dan refleksi kedua adalah terhadap $y = \frac{1}{2}x + 5$ (yang tegak lurus dan tidak melalui asal), kita perlu mencari bayangan A' terhadap garis $y = \frac{1}{2}x + 5$.

Misalkan bayangan A' $(\frac{-26}{5}, \frac{7}{5})$ setelah refleksi terhadap $y = \frac{1}{2}x + 5$ adalah $(x'', y'')$.

1. Garis yang menghubungkan A' dan $(x'', y'')$ tegak lurus terhadap $y = \frac{1}{2}x + 5$. Gradien garis penghubung adalah $\frac{y'' - 7/5}{x'' - (-26/5)} = -2$.
   $y'' - \frac{7}{5} = -2(x'' + \frac{26}{5})$
   $y'' - \frac{7}{5} = -2x'' - \frac{52}{5}$
   $y'' = -2x'' - \frac{52}{5} + \frac{7}{5}$
   $y'' = -2x'' - \frac{45}{5}$
   $y'' = -2x'' - 9$ (Persamaan 1)

2. Titik tengah segmen A' $(x'', y'')$ terletak pada garis $y = \frac{1}{2}x + 5$. Titik tengahnya adalah $(\frac{x'' - 26/5}{2}, \frac{y'' + 7/5}{2})$.
   $\frac{y'' + 7/5}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{x'' - 26/5}{2} \right) + 5$
   $\frac{y'' + 7/5}{2} = \frac{x'' - 26/5}{4} + 5$
   Kalikan kedua sisi dengan 4:
   $2(y'' + \frac{7}{5}) = x'' - \frac{26}{5} + 20$
   $2y'' + \frac{14}{5} = x'' - \frac{26}{5} + \frac{100}{5}$
   $2y'' + \frac{14}{5} = x'' + \frac{74}{5}$
   $2y'' = x'' + \frac{74}{5} - \frac{14}{5}$
   $2y'' = x'' + \frac{60}{5}$
   $2y'' = x'' + 12$ (Persamaan 2)

Substitusikan Persamaan 1 ke Persamaan 2:
$2(-2x'' - 9) = x'' + 12$
$-4x'' - 18 = x'' + 12$
$-18 - 12 = x'' + 4x''$
$-30 = 5x''$
$x'' = -6$

Sekarang cari $y''$ menggunakan Persamaan 1:
$y'' = -2(-6) - 9$
$y'' = 12 - 9$
$y'' = 3$

Jadi, peta dari titik A(2, 5) setelah direfleksikan secara berurutan terhadap garis $y=-2x$ dan $y = \frac{1}{2}x + 5$ adalah $(-6, 3)$.