Petunjuk: Pergunakan prinsip induksi matematika untuk

Pernyataan terbukti benar untuk n=1. Dengan mengasumsikan benar untuk n=k, kita buktikan benar untuk n=k+1 dengan menunjukkan bahwa 2k^2(k+1)^2 + (2k+2)^3 = 2(k+1)^2(k+2)^2.

Pembahasan

Untuk membuktikan pernyataan 2^3 + 4^3 + 6^3 + ... + (2n)^3 = 2n^2(n+1)^2 menggunakan induksi matematika, kita ikuti langkah-langkah berikut:

Langkah 1: Basis Induksi (n=1)
Kita perlu menunjukkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n=1.
Sisi kiri: 2^3 = 8
Sisi kanan: 2(1)^2(1+1)^2 = 2(1)(2)^2 = 2(1)(4) = 8
Karena sisi kiri sama dengan sisi kanan, pernyataan tersebut benar untuk n=1.

Langkah 2: Hipotesis Induksi
Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan bulat positif k. Artinya, kita asumsikan:
2^3 + 4^3 + 6^3 + ... + (2k)^3 = 2k^2(k+1)^2

Langkah 3: Langkah Induksi
Kita perlu menunjukkan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n=k+1. Artinya, kita perlu membuktikan:
2^3 + 4^3 + 6^3 + ... + (2k)^3 + (2(k+1))^3 = 2(k+1)^2((k+1)+1)^2
2^3 + 4^3 + 6^3 + ... + (2k)^3 + (2k+2)^3 = 2(k+1)^2(k+2)^2

Mulai dari sisi kiri dan gunakan hipotesis induksi:
[2^3 + 4^3 + 6^3 + ... + (2k)^3] + (2k+2)^3
= [2k^2(k+1)^2] + (2k+2)^3
= 2k^2(k+1)^2 + [2(k+1)]^3
= 2k^2(k+1)^2 + 8(k+1)^3
Faktorkan (k+1)^2:
= (k+1)^2 [2k^2 + 8(k+1)]
= (k+1)^2 [2k^2 + 8k + 8]
Faktorkan 2 dari ekspresi dalam kurung siku:
= 2(k+1)^2 [k^2 + 4k + 4]
Perhatikan bahwa k^2 + 4k + 4 adalah bentuk kuadrat sempurna, yaitu (k+2)^2:
= 2(k+1)^2 (k+2)^2

Ini sama dengan sisi kanan dari pernyataan yang ingin kita buktikan untuk n=k+1.

Kesimpulan:
Karena basis induksi benar dan langkah induksi berhasil menunjukkan bahwa jika pernyataan benar untuk k, maka pernyataan itu juga benar untuk k+1, maka berdasarkan prinsip induksi matematika, pernyataan 2^3 + 4^3 + 6^3 + ... + (2n)^3 = 2n^2(n+1)^2 adalah benar untuk semua bilangan bulat positif n.