Jika a dan b adalah sudut-sudut lancip, sin a=3/5 dan cos

a. sin(1/2 a)=√10/10, cos(1/2 a)=3√10/10, tan(1/2 a)=1/3; b. sin(2b)=120/169, cos(2b)=119/169, tan(2b)=120/119; c. sin(1/2 a + 2b)=479√10/1690, cos(1/2 a - 2b)=477√10/1690, tan(1/2 a + 2b)=479/477

Pembahasan

Untuk soal nomor 2, kita diberikan sudut lancip a dan b dengan sin a = 3/5 dan cos b = 12/13. Kita perlu menghitung nilai trigonometri:

a. Menghitung sin(1/2 a), cos(1/2 a), dan tan(1/2 a):
Dari sin a = 3/5, kita bisa mencari cos a. Karena a lancip, cos a positif. Menggunakan identitas sin^2 a + cos^2 a = 1, maka cos^2 a = 1 - (3/5)^2 = 1 - 9/25 = 16/25. Jadi, cos a = 4/5.
Menggunakan rumus sudut setengah:
sin(1/2 a) = sqrt((1 - cos a) / 2) = sqrt((1 - 4/5) / 2) = sqrt((1/5) / 2) = sqrt(1/10) = sqrt(10)/10
cos(1/2 a) = sqrt((1 + cos a) / 2) = sqrt((1 + 4/5) / 2) = sqrt((9/5) / 2) = sqrt(9/10) = 3*sqrt(10)/10
tan(1/2 a) = sin(1/2 a) / cos(1/2 a) = (sqrt(10)/10) / (3*sqrt(10)/10) = 1/3

b. Menghitung sin(2b), cos(2b), dan tan(2b):
Dari cos b = 12/13, kita bisa mencari sin b. Karena b lancip, sin b positif. Menggunakan identitas sin^2 b + cos^2 b = 1, maka sin^2 b = 1 - (12/13)^2 = 1 - 144/169 = 25/169. Jadi, sin b = 5/13.
Menggunakan rumus sudut rangkap:
sin(2b) = 2 sin b cos b = 2 * (5/13) * (12/13) = 120/169
cos(2b) = cos^2 b - sin^2 b = (12/13)^2 - (5/13)^2 = 144/169 - 25/169 = 119/169
tan(2b) = sin(2b) / cos(2b) = (120/169) / (119/169) = 120/119

c. Menghitung sin(1/2 a + 2b), cos(1/2 a - 2b), dan tan(1/2 a + 2b):
Kita sudah memiliki nilai-nilai untuk 1/2 a dan 2b.
sin(1/2 a + 2b) = sin(1/2 a)cos(2b) + cos(1/2 a)sin(2b)
= (sqrt(10)/10)*(119/169) + (3*sqrt(10)/10)*(120/169)
= (119*sqrt(10) + 360*sqrt(10)) / 1690 = 479*sqrt(10) / 1690

cos(1/2 a - 2b) = cos(1/2 a)cos(2b) + sin(1/2 a)sin(2b)
= (3*sqrt(10)/10)*(119/169) + (sqrt(10)/10)*(120/169)
= (357*sqrt(10) + 120*sqrt(10)) / 1690 = 477*sqrt(10) / 1690

tan(1/2 a + 2b) = sin(1/2 a + 2b) / cos(1/2 a + 2b)
= (479*sqrt(10) / 1690) / (477*sqrt(10) / 1690) = 479/477