Polinomial berderajat 4 dengan nilai-nilai k=-2,0,1,4 yang

P(x) = x^4 - 3x^3 - 6x^2 + 8x (dengan a=1)

Pembahasan

Polinomial berderajat 4 yang memiliki nilai-nilai akar k = -2, 0, 1, 4 berarti bahwa pada nilai-nilai x tersebut, polinomial bernilai nol (P(k) = 0).

Jika suatu polinomial memiliki akar r1, r2, r3, ..., rn, maka polinomial tersebut dapat ditulis dalam bentuk:
P(x) = a(x - r1)(x - r2)(x - r3)...(x - rn)
dimana 'a' adalah konstanta pengali.

Dalam kasus ini, akar-akarnya adalah -2, 0, 1, dan 4. Jadi, polinomialnya dapat ditulis sebagai:
P(x) = a(x - (-2))(x - 0)(x - 1)(x - 4)
P(x) = a(x + 2)(x)(x - 1)(x - 4)

Untuk menentukan polinomial spesifik, kita memerlukan informasi tambahan, seperti nilai P(x) untuk suatu nilai x yang lain, atau nilai koefisien tertentu. Namun, jika kita diminta untuk menemukan salah satu bentuk polinomialnya (dengan asumsi a=1 untuk kesederhanaan), kita bisa mengalikannya:

P(x) = x(x + 2)(x - 1)(x - 4)

Mari kita ekspansikan:
Kalikan (x+2)(x-1):
x^2 - x + 2x - 2 = x^2 + x - 2

Kalikan (x)(x-4):
x^2 - 4x

Sekarang kalikan hasil kedua perkalian tersebut:
P(x) = (x^2 + x - 2)(x^2 - 4x)

Gunakan metode distribusi (FOIL atau lainnya):
P(x) = x^2(x^2 - 4x) + x(x^2 - 4x) - 2(x^2 - 4x)
P(x) = (x^4 - 4x^3) + (x^3 - 4x^2) - (2x^2 - 8x)
P(x) = x^4 - 4x^3 + x^3 - 4x^2 - 2x^2 + 8x

Gabungkan suku-suku yang sejenis:
P(x) = x^4 + (-4x^3 + x^3) + (-4x^2 - 2x^2) + 8x
P(x) = x^4 - 3x^3 - 6x^2 + 8x

Jadi, salah satu polinomial berderajat 4 dengan akar -2, 0, 1, 4 adalah P(x) = x^4 - 3x^3 - 6x^2 + 8x (dengan asumsi a=1).