Polinomial p(x)=2x^4+3x^3+ax^2+bx+5 habis dibagi (x^2-1).

a. a = -7, b = -3. b. Sisa = 32.

Pembahasan

Polinomial p(x)=2x^4+3x^3+ax^2+bx+5 habis dibagi (x^2-1).

a. Menentukan nilai a dan b.
Karena p(x) habis dibagi oleh (x^2-1), maka p(x) habis dibagi oleh faktor-faktor dari (x^2-1), yaitu (x-1) dan (x+1).
Hebatnya, jika suatu polinomial habis dibagi oleh (x-k), maka p(k) = 0.

Untuk (x-1), maka p(1)=0:
2(1)^4 + 3(1)^3 + a(1)^2 + b(1) + 5 = 0
2 + 3 + a + b + 5 = 0
a + b + 10 = 0
a + b = -10 (Persamaan 1)

Untuk (x+1), maka p(-1)=0:
2(-1)^4 + 3(-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) + 5 = 0
2(1) + 3(-1) + a(1) - b + 5 = 0
2 - 3 + a - b + 5 = 0
a - b + 4 = 0
a - b = -4 (Persamaan 2)

Sekarang kita punya sistem persamaan linear:
1) a + b = -10
2) a - b = -4

Jumlahkan Persamaan 1 dan Persamaan 2:
(a + b) + (a - b) = -10 + (-4)
2a = -14
a = -7

Substitusikan nilai a ke Persamaan 1:
-7 + b = -10
b = -10 + 7
b = -3

Jadi, nilai a = -7 dan b = -3.

b. Menentukan sisa pembagian p(x) oleh (x+3).
Polinomial p(x) sekarang adalah 2x^4+3x^3-7x^2-3x+5.
Untuk mencari sisa pembagian p(x) oleh (x+3), kita gunakan Teorema Sisa, yaitu p(-3).

p(-3) = 2(-3)^4 + 3(-3)^3 - 7(-3)^2 - 3(-3) + 5
= 2(81) + 3(-27) - 7(9) - (-9) + 5
= 162 - 81 - 63 + 9 + 5
= 81 - 63 + 14
= 18 + 14
= 32

Jadi, sisa pembagian p(x) oleh (x+3) adalah 32.