PT Lasin adalah suatu pengembang perumahan di daerah

Model: Maksimalkan Z = 2jt x + 1.5 jt y dengan kendala 130x + 90y <= 12000, x+y <= 150, x>=0, y>=0. Daerah penyelesaian dibatasi oleh sumbu x, sumbu y, dan garis 13x + 9y = 1200.

Pembahasan

Untuk memodelkan permasalahan PT Lasin, kita dapat menggunakan program linear.

Variabel Keputusan:
Misalkan:
x = jumlah rumah tipe mawar yang dibangun
y = jumlah rumah tipe melati yang dibangun

Fungsi Tujuan (Memaksimalkan Laba):
Laba = 2.000.000x + 1.500.000y

Kendala:
1. Luas Tanah:
Luas untuk tipe mawar: 130x
Luas untuk tipe melati: 90y
Total luas tanah yang tersedia: 12.000 m^2
Maka, kendala luas tanah adalah: 130x + 90y <= 12.000

2. Jumlah Rumah:
Jumlah total rumah tidak lebih dari 150 unit.
Maka, kendala jumlah rumah adalah: x + y <= 150

3. Non-negatif:
Jumlah rumah tidak boleh negatif.
Maka, kendala non-negatif adalah: x >= 0 dan y >= 0

Model Matematika:
Maksimalkan Z = 2.000.000x + 1.500.000y
Dengan kendala:
130x + 90y <= 12.000
x + y <= 150
x >= 0
y >= 0

Gambar Daerah Penyelesaian:
Untuk menggambarkan daerah penyelesaian, kita perlu mencari titik-titik potong dari garis-garis kendala:

Garis 1: 130x + 90y = 12.000 (disederhanakan menjadi 13x + 9y = 1.200)
- Jika x = 0, maka 9y = 1.200 => y = 1.200/9 = 400/3 ≈ 133.33. Titik (0, 133.33)
- Jika y = 0, maka 13x = 1.200 => x = 1.200/13 ≈ 92.31. Titik (92.31, 0)

Garis 2: x + y = 150
- Jika x = 0, maka y = 150. Titik (0, 150)
- Jika y = 0, maka x = 150. Titik (150, 0)

Garis 3: x = 0 (sumbu Y)
Garis 4: y = 0 (sumbu X)

Selanjutnya, kita tentukan daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan:
- 13x + 9y <= 1.200: Daerah di bawah garis 1.
- x + y <= 150: Daerah di bawah garis 2.
- x >= 0: Daerah di sebelah kanan sumbu Y.
- y >= 0: Daerah di atas sumbu X.

Daerah penyelesaian adalah irisan dari semua daerah tersebut. Perlu diperhatikan bahwa titik potong antara garis 13x + 9y = 1.200 dan x + y = 150 akan menjadi salah satu titik sudut yang perlu dipertimbangkan dalam mencari nilai optimal. 

Titik potong kedua garis:
x + y = 150  => y = 150 - x
Substitusikan ke persamaan pertama:
13x + 9(150 - x) = 1.200
13x + 1.350 - 9x = 1.200
4x = 1.200 - 1.350
4x = -150
x = -37.5
Karena x tidak boleh negatif, ini menunjukkan bahwa titik potong kedua garis di luar kuadran pertama, yang berarti kendala x+y<=150 tidak membatasi daerah penyelesaian yang dibentuk oleh kendala luas tanah pada kuadran pertama. Titik kritis yang perlu diperhatikan adalah perpotongan garis 13x + 9y = 1200 dengan sumbu x dan y, serta titik (0,0). 

Titik-titik sudut yang relevan adalah:
(0,0)
(92.31, 0) (perpotongan 13x+9y=1200 dengan sumbu X)
(0, 133.33) (perpotongan 13x+9y=1200 dengan sumbu Y)

Namun, perlu dicek kembali apakah ada perpotongan yang relevan di dalam kuadran pertama. 
Dari kendala 13x + 9y <= 1200 dan x + y <= 150:
Jika kita ambil titik (92.31, 0), maka 92.31 + 0 = 92.31 <= 150 (memenuhi).
Jika kita ambil titik (0, 133.33), maka 0 + 133.33 = 133.33 <= 150 (memenuhi).

Jadi, daerah penyelesaian dibatasi oleh sumbu x, sumbu y, dan garis 13x + 9y = 1200.