Tentukan notasi sigma deret

Notasi sigma deret tersebut dengan batas bawah 10 adalah \(\sum_{k=10}^{107} \frac{k-8}{(k-9)(k-7)}\).

Pembahasan

Untuk menentukan notasi sigma deret \(2/3+3/8+4/15+5/24+6/35+...+99/9.800\) dengan batas bawah 10, kita perlu mengidentifikasi pola suku-suku deret tersebut.

Mari kita analisis suku-suku deret:
Suku ke-1: \(2/3\)
Suku ke-2: \(3/8\)
Suku ke-3: \(4/15\)
Suku ke-4: \(5/24\)
Suku ke-5: \(6/35\)

Perhatikan pola pada pembilang: 2, 3, 4, 5, 6, ...
Jika kita menggunakan indeks \(n\) yang dimulai dari 1, pembilangnya adalah \(n+1\).

Perhatikan pola pada penyebut: 3, 8, 15, 24, 35, ...
Jika kita perhatikan selisih antara suku-suku penyebut:
8 - 3 = 5
15 - 8 = 7
24 - 15 = 9
35 - 24 = 11
Selisihnya meningkat secara bertahap (5, 7, 9, 11, ...), yang menunjukkan pola kuadratik.

Mari kita coba bentuk \(n^2 + c\) atau \((n+a)^2 + b\).
Jika kita gunakan indeks \(n\) yang dimulai dari 1:
Untuk n=1, penyebut = 3. Jika \(n^2\), maka \(1^2 = 1\). Kita perlu menambahkan 2. Jadi, \(n^2 + 2 = 1+2 = 3\).
Untuk n=2, penyebut = 8. Coba \(n^2 + 2 = 2^2 + 2 = 4 + 2 = 6\). Ini tidak cocok.

Mari kita coba bentuk \(n(n+k)\).
Jika kita gunakan indeks \(n\) yang dimulai dari 1:
Untuk n=1, penyebut = 3. Coba \(1(1+2) = 1(3) = 3\).
Untuk n=2, penyebut = 8. Coba \(2(2+2) = 2(4) = 8\).
Untuk n=3, penyebut = 15. Coba \(3(3+2) = 3(5) = 15\).
Untuk n=4, penyebut = 24. Coba \(4(4+2) = 4(6) = 24\).
Untuk n=5, penyebut = 35. Coba \(5(5+2) = 5(7) = 35\).

Pola penyebut adalah \(n(n+2)\).

Jadi, suku ke-n dari deret ini adalah \((n+1) / (n(n+2))\).

Sekarang kita perlu menentukan indeks \(n\) yang sesuai untuk suku terakhir \(99/9800\). Namun, penyebutnya adalah \(n(n+2)\), yang jika \(n=98\) memberikan \(98(100) = 9800\).
Jika penyebutnya \(n(n+2)\) dan suku terakhir memiliki penyebut 9800, maka \(n(n+2) = 9800\).
Mencari \(n\) yang memenuhi ini:
Jika \(n=98\), maka \(98(98+2) = 98(100) = 9800\).
Jadi, suku terakhir adalah suku ke-98.

Dengan suku ke-n adalah \((n+1) / (n(n+2))\), suku ke-98 adalah \((98+1) / (98(98+2)) = 99 / (98 * 100) = 99 / 9800\). Ini cocok.

Namun, kita perlu menggunakan batas bawah 10. Ini berarti kita perlu menyesuaikan indeks \(n\) sehingga suku pertama deret yang kita tuliskan menggunakan notasi sigma adalah suku kedua dari deret asli (karena suku pertama asli adalah 2/3, dan jika kita mulai dari n=10, kita akan melewatkan suku-suku awal).

Jika kita ingin memulai notasi sigma dari \(n=10\), kita perlu mencari suku ke-10 dari deret asli.
Suku ke-10 = \((10+1) / (10(10+2)) = 11 / (10 * 12) = 11 / 120\).

Deret asli adalah \(2/3 + 3/8 + 4/15 + ... + 99/9800\).
Suku pertama (n=1): \(2/3\)
Suku kedua (n=2): \(3/8\)
Suku kesepuluh (n=10): \(11/120\)

Jika kita ingin notasi sigma dimulai dengan indeks 10, maka suku yang pertama dalam notasi sigma adalah suku ke-10 dari deret asli. Rumus suku ke-n adalah \((n+1)/(n(n+2))\).

Jika kita menggunakan indeks \(k\) untuk notasi sigma, dan kita ingin batas bawahnya adalah 10, maka kita perlu menentukan suku ke-k yang dimulai dari k=10.

Mari kita gunakan variabel \(k\) untuk notasi sigma, dimulai dari \(k=10\).
Kita perlu menyesuaikan rumus suku agar ketika \(k=10\), ia menghasilkan suku kedua dari deret asli (2/3) jika kita memulai indeks dari yang sesuai.

Jika kita ingin notasi sigma dimulai dari \(k=10\) dan mewakili seluruh deret, ini berarti suku pertama dari notasi sigma harus sesuai dengan suku pertama dari deret asli (2/3), tetapi indeksnya harus 10.

Ini agak membingungkan. Mari kita klarifikasi: apakah kita ingin notasi sigma mewakili seluruh deret dengan batas bawah 10, atau kita ingin menjumlahkan suku-suku mulai dari suku ke-10?

Asumsi: Kita ingin menyatakan seluruh deret dalam notasi sigma, tetapi indeksnya harus dimulai dari 10.

Jika indeks sigma adalah \(k\) dan batas bawahnya adalah 10, maka suku pertama dalam sigma adalah suku ke-10 dari deret. Rumus suku ke-\(n\) adalah \(a_n = (n+1)/(n(n+2))\).
Jadi, suku ke-10 adalah \(a_{10} = (10+1)/(10(10+2)) = 11/120\).

Ini berarti notasi sigma yang dimulai dari \(k=10\) dengan rumus \(a_k = (k+1)/(k(k+2))\) akan dimulai dari 11/120, bukan 2/3.

Ada kemungkinan penafsiran lain: bahwa deret yang diberikan adalah sebagian dari deret yang lebih besar, dan kita diminta untuk menuliskan notasi sigma dari suku ke-10 hingga suku terakhir.

Jika kita mengasumsikan bahwa kita perlu menulis notasi sigma untuk seluruh deret \(2/3+3/8+4/15+...+99/9.800\) dengan indeks yang dimulai dari 10, maka kita perlu hubungan antara indeks \(k\) dan suku ke-\(\alpha\) dari deret.

Misalkan indeks sigma adalah \(k\), dimulai dari \(k=10\). Kita perlu mencari rumus \(f(k)\) sedemikian rupa sehingga suku pertama sigma (ketika \(k=10\)) adalah \(2/3\).

Jika suku ke-\(\alpha\) adalah \((\alpha+1)/(\alpha(\alpha+2))\).
Kita ingin \(k = \alpha + c\) atau \(k = c \alpha\) atau sejenisnya.

Jika kita ingin indeks \(k\) dimulai dari 10, dan suku pertama deret (\(2/3\)) berkorespondensi dengan \(k=10\).
Kita tahu suku pertama \(2/3\) memiliki \(\alpha = 1\) dalam rumus \((\alpha+1)/(\alpha(\alpha+2))\).
Jadi, ketika \(k=10\), kita perlu mendapatkan \(\alpha = 1\).
Hubungan yang mungkin: \(\alpha = k - 9\).
Mari kita cek:
Jika \(k=10\), \(\alpha = 10 - 9 = 1\). Suku = \((1+1)/(1(1+2)) = 2/3\). Cocok.
Jika \(k=11\), \(\alpha = 11 - 9 = 2\). Suku = \((2+1)/(2(2+2)) = 3/8\). Cocok.

Sekarang, kita perlu menemukan nilai \(k\) untuk suku terakhir \(99/9800\). Kita tahu suku terakhir memiliki \(\alpha = 98\).
Menggunakan hubungan \(\alpha = k - 9\), maka \(98 = k - 9\).
\(k = 98 + 9 = 107\).

Jadi, notasi sigma untuk seluruh deret dengan batas bawah 10 adalah:
\(\sum_{k=10}^{107} \frac{(k-9)+1}{(k-9)((k-9)+2)}\) 

\(\sum_{k=10}^{107} \frac{k-8}{(k-9)(k-7)}\) 

Mari kita periksa apakah rumus suku ke-k ini benar.
Ketika k=10: (10-8) / ((10-9)(10-7)) = 2 / (1 * 3) = 2/3. Benar.
Ketika k=11: (11-8) / ((11-9)(11-7)) = 3 / (2 * 4) = 3/8. Benar.
Ketika k=107: (107-8) / ((107-9)(107-7)) = 99 / (98 * 100) = 99/9800. Benar.

Jadi, notasi sigma deret \(2/3+3/8+4/15+5/24+6/35+...+99/9.800\) dengan batas bawah 10 adalah \(\sum_{k=10}^{107} \frac{k-8}{(k-9)(k-7)}\).