Kelas 12Kelas 11mathVektorBarisan Dan DeretKalkulus
Rasio suatu deret geometri tak hingga adalah r=lim
Pertanyaan
Rasio suatu deret geometri tak hingga adalah r = lim (x-2)/(2x^2-6x+4). Suku pertama deret itu merupakan hasil kali skalar vektor a = i + 2j + 2k dan b = 2i + j - k. Hitunglah jumlah deret geometri tak hingga tersebut.
Solusi
Verified
Jumlah deret geometri tak hingga tersebut adalah 4.
Pembahasan
Pertama, kita perlu menentukan rasio deret geometri tak hingga (r). Rasio diberikan oleh limit: r = lim (x-2)/(2x^2-6x+4) Untuk mencari nilai limit ini, kita substitusikan x = 2 (karena jika kita langsung substitusi x=2, hasilnya 0/0, yang merupakan bentuk tak tentu, sehingga kita perlu menyederhanakan atau menggunakan aturan L'Hopital). Faktorkan penyebut: 2x^2 - 6x + 4 = 2(x^2 - 3x + 2) = 2(x-1)(x-2) Substitusikan kembali ke dalam limit: r = lim (x-2) / (2(x-1)(x-2)) Kita bisa membatalkan faktor (x-2) selama x ≠ 2: r = lim 1 / (2(x-1)) Sekarang substitusikan x = 2: r = 1 / (2(2-1)) r = 1 / (2(1)) r = 1/2 Jadi, rasio deret geometri tak hingga adalah r = 1/2. Selanjutnya, kita perlu mencari suku pertama (a). Suku pertama adalah hasil kali skalar dari vektor a = i + 2j + 2k dan b = 2i + j - k. Hasil kali skalar (dot product) dari dua vektor v = v1i + v2j + v3k dan w = w1i + w2j + w3k adalah v ⋅ w = v1w1 + v2w2 + v3w3. Untuk vektor a = 1i + 2j + 2k dan b = 2i + 1j - 1k: a ⋅ b = (1)(2) + (2)(1) + (2)(-1) a ⋅ b = 2 + 2 - 2 a ⋅ b = 2 Jadi, suku pertama deret geometri tak hingga adalah a = 2. Terakhir, kita perlu mencari jumlah deret geometri tak hingga tersebut. Rumus jumlah deret geometri tak hingga adalah S = a / (1 - r), dengan syarat |r| < 1. Kita memiliki a = 2 dan r = 1/2. Karena |1/2| < 1, deret tersebut konvergen. Jumlah deretnya adalah: S = 2 / (1 - 1/2) S = 2 / (1/2) S = 2 * 2 S = 4 Jumlah deret geometri tak hingga tersebut adalah 4.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Limit Fungsi Aljabar, Deret Geometri Tak Hingga, Hasil Kali Skalar Vektor
Section: Operasi Vektor, Limit Tak Tentu, Rumus Jumlah Deret Geometri Tak Hingga
Apakah jawaban ini membantu?