Rasio suatu deret geometri tak hingga adalah r=lim

Jumlah deret geometri tak hingga tersebut adalah 4.

Pembahasan

Pertama, kita perlu menentukan rasio deret geometri tak hingga (r). Rasio diberikan oleh limit:
r = lim (x-2)/(2x^2-6x+4)
Untuk mencari nilai limit ini, kita substitusikan x = 2 (karena jika kita langsung substitusi x=2, hasilnya 0/0, yang merupakan bentuk tak tentu, sehingga kita perlu menyederhanakan atau menggunakan aturan L'Hopital).

Faktorkan penyebut:
2x^2 - 6x + 4 = 2(x^2 - 3x + 2) = 2(x-1)(x-2)

Substitusikan kembali ke dalam limit:
r = lim (x-2) / (2(x-1)(x-2))
Kita bisa membatalkan faktor (x-2) selama x ≠ 2:
r = lim 1 / (2(x-1))
Sekarang substitusikan x = 2:
r = 1 / (2(2-1))
r = 1 / (2(1))
r = 1/2

Jadi, rasio deret geometri tak hingga adalah r = 1/2.

Selanjutnya, kita perlu mencari suku pertama (a). Suku pertama adalah hasil kali skalar dari vektor a = i + 2j + 2k dan b = 2i + j - k.

Hasil kali skalar (dot product) dari dua vektor v = v1i + v2j + v3k dan w = w1i + w2j + w3k adalah v ⋅ w = v1w1 + v2w2 + v3w3.

Untuk vektor a = 1i + 2j + 2k dan b = 2i + 1j - 1k:
a ⋅ b = (1)(2) + (2)(1) + (2)(-1)
a ⋅ b = 2 + 2 - 2
a ⋅ b = 2

Jadi, suku pertama deret geometri tak hingga adalah a = 2.

Terakhir, kita perlu mencari jumlah deret geometri tak hingga tersebut. Rumus jumlah deret geometri tak hingga adalah S = a / (1 - r), dengan syarat |r| < 1.

Kita memiliki a = 2 dan r = 1/2. Karena |1/2| < 1, deret tersebut konvergen.

Jumlah deretnya adalah:
S = 2 / (1 - 1/2)
S = 2 / (1/2)
S = 2 * 2
S = 4

Jumlah deret geometri tak hingga tersebut adalah 4.