Rio mempunyai sebuah bingkai kayu sepanjang 160 cm. Rio

1600 cm^2

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan optimasi, khususnya mencari luas maksimum dari persegi panjang dengan keliling tetap. Keliling bingkai kayu yang dimiliki Rio adalah 160 cm. Misalkan panjang sisi persegi panjang adalah p dan lebar sisi persegi panjang adalah l.

Keliling persegi panjang dihitung dengan rumus: K = 2(p + l).
Karena kelilingnya adalah 160 cm, maka 2(p + l) = 160, atau p + l = 80.
Luas persegi panjang dihitung dengan rumus: L = p * l.

Untuk mencari luas maksimum, kita bisa menggunakan konsep turunan atau AM-GM inequality.

Metode 1: Menggunakan turunan
Dari p + l = 80, kita bisa menyatakan l = 80 - p.
Substitusikan ke dalam rumus luas: L(p) = p * (80 - p) = 80p - p^2.
Untuk mencari nilai maksimum, kita cari turunan L terhadap p dan samakan dengan 0:
L'(p) = 80 - 2p
80 - 2p = 0
2p = 80
p = 40
Jika p = 40, maka l = 80 - 40 = 40.
Ini berarti persegi panjang tersebut adalah persegi.
Luas maksimum = 40 cm * 40 cm = 1600 cm^2.

Metode 2: AM-GM Inequality
Untuk dua bilangan non-negatif, rata-rata aritmatika selalu lebih besar dari atau sama dengan rata-rata geometrik. Dalam kasus ini, p dan l.
(p + l) / 2 >= sqrt(p * l)
Karena p + l = 80, maka:
80 / 2 >= sqrt(L)
40 >= sqrt(L)
Kuadratkan kedua sisi:
1600 >= L
Luas maksimum adalah 1600 cm^2, yang terjadi ketika p = l.
Karena p + l = 80, maka p = l = 40 cm.

Jadi, luas maksimum bingkai hiasan yang dapat dibuat adalah 1600 cm^2.