Jika x^2-2x-8 merupakan faktor dari polinomial

64

Pembahasan

Karena x^2 - 2x - 8 merupakan faktor dari polinomial x^4 - 5x^3 - 6x^2 + px + q, maka akar-akar dari x^2 - 2x - 8 juga merupakan akar-akar dari polinomial tersebut.

Pertama, kita cari akar-akar dari x^2 - 2x - 8 = 0.
(x - 4)(x + 2) = 0
Maka, akar-akarnya adalah x = 4 dan x = -2.

Karena x = 4 adalah akar, maka jika kita substitusikan ke dalam polinomial utama, hasilnya harus 0:
(4)^4 - 5(4)^3 - 6(4)^2 + p(4) + q = 0
256 - 5(64) - 6(16) + 4p + q = 0
256 - 320 - 96 + 4p + q = 0
-160 + 4p + q = 0
4p + q = 160  (Persamaan 1)

Karena x = -2 adalah akar, maka jika kita substitusikan ke dalam polinomial utama, hasilnya harus 0:
(-2)^4 - 5(-2)^3 - 6(-2)^2 + p(-2) + q = 0
16 - 5(-8) - 6(4) - 2p + q = 0
16 + 40 - 24 - 2p + q = 0
32 - 2p + q = 0
-2p + q = -32  (Persamaan 2)

Sekarang kita memiliki sistem dua persamaan linear dengan dua variabel:
1) 4p + q = 160
2) -2p + q = -32

Kita dapat mengurangkan Persamaan 2 dari Persamaan 1 untuk mengeliminasi q:
(4p + q) - (-2p + q) = 160 - (-32)
4p + q + 2p - q = 160 + 32
6p = 192
p = 192 / 6
p = 32

Sekarang substitusikan nilai p = 32 ke salah satu persamaan untuk mencari q. Menggunakan Persamaan 2:
-2(32) + q = -32
-64 + q = -32
q = -32 + 64
q = 32

Yang ditanyakan adalah nilai p + q:
p + q = 32 + 32
p + q = 64.

Jadi, nilai p+q adalah 64.