Sebuah bola dilemparkan ke atas dari permukaan planet yang

Tinggi maksimum bola adalah -v₀²/(2k). Jika k adalah besaran positif percepatan gravitasi, maka tinggi maksimum adalah v₀²/(2k).

Pembahasan

Untuk menunjukkan bahwa tinggi maksimum bola yang dilemparkan ke atas adalah $(v_0^2)/(2k)$, kita akan menggunakan prinsip-prinsip fisika dasar dan kalkulus.

Diketahui:
Percepatan gravitasi planet = $k$ (konstanta negatif, misal $k = -g'$ dimana $g'$ adalah nilai positif percepatan gravitasi)
Kecepatan awal = $v_0$

Hubungan antara percepatan, kecepatan, dan posisi (tinggi) adalah:
Percepatan ($a$) = turunan kecepatan terhadap waktu ($dv/dt$)
Kecepatan ($v$) = turunan posisi (tinggi) terhadap waktu ($dy/dt$)

Dalam kasus ini, percepatan ($a$) adalah percepatan gravitasi, yaitu $a = k$.

Mengintegrasikan percepatan terhadap waktu untuk mendapatkan kecepatan:
$v(t) = \int a dt = \int k dt = kt + C_1$

Kita tahu bahwa pada waktu $t=0$, kecepatan awal adalah $v_0$. Maka:
$v(0) = k(0) + C_1 = v_0$
$C_1 = v_0$

Jadi, persamaan kecepatan adalah: $v(t) = kt + v_0$.

Mengintegrasikan kecepatan terhadap waktu untuk mendapatkan tinggi ($y$):
$y(t) = \int v(t) dt = \int (kt + v_0) dt = \frac{1}{2}kt^2 + v_0t + C_2$

Kita asumsikan bahwa pada waktu $t=0$, ketinggian bola adalah 0 (dilemparkan dari permukaan). Maka:
$y(0) = \frac{1}{2}k(0)^2 + v_0(0) + C_2 = 0$
$C_2 = 0$

Jadi, persamaan tinggi bola sebagai fungsi waktu adalah: $y(t) = \frac{1}{2}kt^2 + v_0t$.

Bola mencapai tinggi maksimum ketika kecepatannya menjadi nol ($v(t) = 0$). Mari kita cari waktu ($t_{max}$) saat ini terjadi:
$v(t_{max}) = kt_{max} + v_0 = 0$
$kt_{max} = -v_0$
$t_{max} = -\frac{v_0}{k}$

Karena $k$ adalah konstanta negatif, $-v_0/k$ akan bernilai positif, yang masuk akal untuk waktu.

Sekarang, substitusikan waktu $t_{max}$ ini ke dalam persamaan tinggi $y(t)$ untuk mendapatkan tinggi maksimum ($y_{max}$):
$y_{max} = y(t_{max}) = \frac{1}{2}k(t_{max})^2 + v_0(t_{max})$
$y_{max} = \frac{1}{2}k(-\frac{v_0}{k})^2 + v_0(-\frac{v_0}{k})$
$y_{max} = \frac{1}{2}k(\frac{v_0^2}{k^2}) - \frac{v_0^2}{k}$
$y_{max} = \frac{1}{2}\frac{v_0^2}{k} - \frac{v_0^2}{k}$
$y_{max} = (\frac{1}{2} - 1)\frac{v_0^2}{k}$
$y_{max} = -\frac{1}{2}\frac{v_0^2}{k}$

Karena $k$ adalah konstanta negatif, mari kita substitusikan $k = -g'$ dimana $g' > 0$.
Maka:
$y_{max} = -\frac{1}{2}\frac{v_0^2}{(-g')}$
$y_{max} = \frac{v_0^2}{2g'}$

Karena $k = -g'$, maka $g' = -k$.
Maka:
$y_{max} = \frac{v_0^2}{2(-k)}$
$y_{max} = \frac{v_0^2}{-2k}$

Periksa kembali: Jika percepatan gravitasi adalah $k$ (negatif), maka arahnya ke bawah. Jika bola dilempar ke atas dengan kecepatan $v_0$, maka $v_0$ positif. Ketinggian maksimum dicapai saat $v=0$. Waktu untuk mencapai $v=0$ adalah $t = v_0/g$ (jika $g$ positif) atau $t = -v_0/k$ (jika $k$ negatif).

Mari kita gunakan $a = k$. $v = kt + v_0$. $y = \frac{1}{2}kt^2 + v_0t$. Tinggi maksimum saat $v=0$, yaitu $t = -v_0/k$. Tinggi maksimum $y_{max} = \frac{1}{2}k(-\frac{v_0}{k})^2 + v_0(-\frac{v_0}{k}) = \frac{1}{2}k\frac{v_0^2}{k^2} - \frac{v_0^2}{k} = \frac{v_0^2}{2k} - \frac{v_0^2}{k} = -\frac{v_0^2}{2k}$.

Karena k adalah konstanta negatif, misalkan k = -g (dengan g positif). Maka tinggi maksimumnya adalah $-v_0^2 / (2 * (-g)) = v_0^2 / (2g)$.
Dalam soal, percepatan gravitasi adalah $k$. Jadi, tinggi maksimumnya adalah $-v_0^2 / (2k)$.

Soal meminta untuk menunjukkan tinggi maksimum adalah $(v_0^2)/(2k)$. Ini tampaknya ada kesalahan dalam soal atau interpretasi saya terhadap '$k$ konstanta negatif'.

Jika $k$ adalah *magnitudo* percepatan gravitasi (sebuah nilai positif) dan arahnya ke bawah, maka persamaan gerak adalah $a = -k$.

Jika $a = -k$ (dimana $k>0$):
$v(t) = \int -k dt = -kt + C_1$
$v(0) = v_0 
Rightarrow C_1 = v_0$
$v(t) = -kt + v_0$

Tinggi maksimum saat $v(t) = 0$:
$-kt_{max} + v_0 = 0 
Rightarrow t_{max} = v_0/k$

$y(t) = \int (-kt + v_0) dt = -rac{1}{2}kt^2 + v_0t + C_2$
$y(0) = 0 
Rightarrow C_2 = 0$
$y(t) = -rac{1}{2}kt^2 + v_0t$

$y_{max} = y(t_{max}) = -rac{1}{2}k(v_0/k)^2 + v_0(v_0/k)$
$y_{max} = -rac{1}{2}k(v_0^2/k^2) + v_0^2/k$
$y_{max} = -rac{1}{2}rac{v_0^2}{k} + rac{v_0^2}{k}$
$y_{max} = rac{1}{2}rac{v_0^2}{k}$

Ini sesuai dengan yang diminta dalam soal. Jadi, interpretasi yang benar adalah $k$ merujuk pada besarnya percepatan gravitasi, bukan nilai percepatan itu sendiri yang negatif. Atau, jika $k$ adalah nilai percepatan (vektor), maka $k$ negatif, dan persamaannya menjadi $a=k$, yang menghasilkan tinggi maksimum $-v_0^2/(2k)$. Jika soal benar menyatakan $k$ negatif, maka hasil akhirnya harus $-v_0^2/(2k)$.

Mari kita ikuti penulisan soal: