Butet membuat dua jenis kue. Setiap kue A memerlukan modal

Keuntungan maksimal yang diperoleh Butet adalah Rp600.000,00.

Pembahasan

Ini adalah soal program linear yang bertujuan untuk memaksimalkan keuntungan.

Mari kita definisikan variabel:
- Misalkan x adalah jumlah kue A yang dibuat.
- Misalkan y adalah jumlah kue B yang dibuat.

Fungsi Keuntungan (yang ingin dimaksimalkan):
Keuntungan kue A = Rp1.000,00 per buah.
Keuntungan kue B = Rp1.500,00 per buah.
Fungsi Keuntungan, Z = 1000x + 1500y

Kendala:
1. Modal yang tersedia Rp1.200.000,00.
   Modal kue A = Rp2.000,00 per buah.
   Modal kue B = Rp3.000,00 per buah.
   Kendala modal: 2000x + 3000y ≤ 1.200.000
   Disederhanakan: 2x + 3y ≤ 1200

2. Paling banyak hanya dapat membuat 500 kue per hari.
   Kendala jumlah produksi: x + y ≤ 500

3. Jumlah kue tidak negatif.
   Kendala non-negatif: x ≥ 0, y ≥ 0

Untuk mencari keuntungan maksimal, kita perlu mencari titik-titik pojok dari daerah himpunan penyelesaian yang dibatasi oleh kendala-kendala tersebut dan mengevaluasi fungsi keuntungan pada titik-titik tersebut.

Titik-titik pojok dapat ditemukan dengan mencari perpotongan dari garis-garis kendala:
- Perpotongan x = 0 dan y = 0: (0, 0)
- Perpotongan x = 0 dan 2x + 3y = 1200: 2(0) + 3y = 1200 => 3y = 1200 => y = 400. Titik: (0, 400)
- Perpotongan y = 0 dan 2x + 3y = 1200: 2x + 3(0) = 1200 => 2x = 1200 => x = 600. Titik: (600, 0)
- Perpotongan x = 0 dan x + y = 500: 0 + y = 500 => y = 500. Titik: (0, 500)
- Perpotongan y = 0 dan x + y = 500: x + 0 = 500 => x = 500. Titik: (500, 0)

Sekarang kita perlu mencari perpotongan antara garis 2x + 3y = 1200 dan x + y = 500.
Kalikan persamaan kedua dengan 2:
2(x + y) = 2(500)
2x + 2y = 1000

Kurangkan persamaan ini dari 2x + 3y = 1200:
(2x + 3y) - (2x + 2y) = 1200 - 1000
y = 200

Substitusikan y = 200 ke x + y = 500:
x + 200 = 500
x = 300
Titik perpotongan: (300, 200)

Titik-titik pojok yang valid (memenuhi semua kendala) adalah:
- (0, 0)
- (0, 400)  (karena 0+400 <= 500)
- (500, 0)  (karena 2(500)+3(0) = 1000 <= 1200)
- (300, 200) (karena 300+200=500 <= 500 dan 2(300)+3(200)=600+600=1200 <= 1200)

Evaluasi fungsi keuntungan Z = 1000x + 1500y pada titik-titik pojok:
- Z(0, 0) = 1000(0) + 1500(0) = 0
- Z(0, 400) = 1000(0) + 1500(400) = 600.000
- Z(500, 0) = 1000(500) + 1500(0) = 500.000
- Z(300, 200) = 1000(300) + 1500(200) = 300.000 + 300.000 = 600.000

Keuntungan maksimal yang diperoleh adalah Rp600.000,00.