Sebuah deret aritmetika terbentuk dari suku-suku yang

Suku ke-20 adalah 40 dan jumlah 20 suku pertama adalah 420.

Pembahasan

Diketahui sebuah deret aritmetika dengan suku-suku bernilai positif, suku pertama a = 2, dan U5 x U10 = 200.
Rumus suku ke-n deret aritmetika adalah Un = a + (n-1)b, di mana 'a' adalah suku pertama dan 'b' adalah beda.

Diketahui a = 2.
U5 = a + (5-1)b = 2 + 4b
U10 = a + (10-1)b = 2 + 9b

Diberikan U5 x U10 = 200:
(2 + 4b)(2 + 9b) = 200
4 + 18b + 8b + 36b^2 = 200
36b^2 + 26b + 4 = 200
36b^2 + 26b - 196 = 0
Bagi kedua sisi dengan 2:
18b^2 + 13b - 98 = 0

Kita dapat menggunakan rumus kuadrat untuk mencari nilai 'b':
b = [-B ± sqrt(B^2 - 4AC)] / 2A
Di sini, A=18, B=13, C=-98.
b = [-13 ± sqrt(13^2 - 4 * 18 * (-98))] / (2 * 18)
b = [-13 ± sqrt(169 + 7056)] / 36
b = [-13 ± sqrt(7225)] / 36
b = [-13 ± 85] / 36

Dua kemungkinan nilai b:
b1 = (-13 + 85) / 36 = 72 / 36 = 2
b2 = (-13 - 85) / 36 = -98 / 36 = -49 / 18

Karena suku-suku deret bernilai positif, kita perlu memeriksa apakah beda 'b' yang mungkin menghasilkan suku positif.
Jika b = -49/18, maka U2 = a + b = 2 + (-49/18) = 36/18 - 49/18 = -13/18, yang merupakan suku negatif. Jadi, kita gunakan b = 2.

Dengan b = 2, kita dapat menghitung suku ke-20 (U20) dan jumlah 20 suku pertama (S20).

Suku ke-20 (U20):
U20 = a + (20-1)b
U20 = 2 + (19) * 2
U20 = 2 + 38
U20 = 40

Jumlah 20 suku pertama (S20):
Rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah Sn = n/2 * (2a + (n-1)b) atau Sn = n/2 * (a + Un).
Menggunakan rumus pertama:
S20 = 20/2 * (2*2 + (20-1)*2)
S20 = 10 * (4 + 19*2)
S20 = 10 * (4 + 38)
S20 = 10 * 42
S20 = 420

Jadi, suku ke-20 adalah 40 dan jumlah 20 suku pertama adalah 420.