Sebuah garis AB yang panjangnya x m dibagi oleh titik P dan

OP = (x/2 * (m-n))/(m+n) dan OQ = (x/2 * (m+n))/(m-n). OA^2 = OPxOQ terbukti benar.

Pembahasan

Untuk membuktikan OA^2 = OP * OQ, kita dapat menggunakan konsep perbandingan ruas garis dan posisi titik pada garis. Misalkan titik A berada di posisi -x/2 dan titik B di posisi x/2 pada garis bilangan, sehingga titik O (titik tengah AB) berada di posisi 0. Panjang AB adalah x.

Titik P membagi AB dalam perbandingan AP/PB = m/n. Karena P membagi garis AB secara internal, maka posisi P dapat dihitung sebagai:
P = (n*A + m*B) / (m+n)
P = (n*(-x/2) + m*(x/2)) / (m+n)
P = (x/2 * (m-n)) / (m+n)

Jarak OP adalah nilai absolut dari posisi P:
OP = |P| = |(x/2 * (m-n)) / (m+n)|
Karena m > n, maka m-n > 0, sehingga:
OP = (x/2 * (m-n)) / (m+n)

Titik Q membagi AB dalam perbandingan AQ/QB = -m/n. Tanda negatif menunjukkan bahwa Q membagi garis AB secara eksternal. Posisi Q dapat dihitung sebagai:
Q = (n*A - m*B) / (n-m)
Q = (n*(-x/2) - m*(x/2)) / (n-m)
Q = (-x/2 * (n+m)) / (n-m)
Q = (x/2 * (m+n)) / (m-n)  (karena membagi dengan (n-m) atau -(m-n))

Jarak OQ adalah nilai absolut dari posisi Q:
OQ = |Q| = |(x/2 * (m+n)) / (m-n)|
Karena m > n, maka m+n > 0 dan m-n > 0, sehingga:
OQ = (x/2 * (m+n)) / (m-n)

Sekarang kita hitung OA^2. OA adalah jarak dari O ke A, yang merupakan setengah dari panjang AB, yaitu x/2. Maka:
OA^2 = (x/2)^2 = x^2/4

Selanjutnya, kita hitung OP * OQ:
OP * OQ = [(x/2 * (m-n)) / (m+n)] * [(x/2 * (m+n)) / (m-n)]
OP * OQ = (x/2) * (x/2)
OP * OQ = x^2/4

Jadi, terbukti bahwa OA^2 = OP * OQ.