Sebuah kertas karton berbentuk persegi panjang berukuran

Volume maksimum balok adalah 486 cm³.

Pembahasan

Misalkan ukuran kertas karton adalah panjang $p = 24$ cm dan lebar $l = 15$ cm. Misalkan sisi persegi yang dipotong dari setiap sudut adalah $x$ cm. Setelah dipotong dan dilipat, ukuran balok tanpa tutup akan menjadi:
Panjang balok: $L = 24 - 2x$
Lebar balok: $W = 15 - 2x$
Tinggi balok: $H = x$

Volume balok, $V(x)$, diberikan oleh:
$V(x) = L \times W \times H = (24 - 2x)(15 - 2x)x$
$V(x) = (360 - 48x - 30x + 4x^2)x$
$V(x) = (4x^2 - 78x + 360)x$
$V(x) = 4x^3 - 78x^2 + 360x$

Untuk mencari volume maksimum, kita perlu mencari turunan pertama dari $V(x)$ terhadap $x$ dan menyamakannya dengan nol:
$V'(x) = 12x^2 - 156x + 360$

Samakan $V'(x)$ dengan nol:
$12x^2 - 156x + 360 = 0$
Bagi dengan 12:
$x^2 - 13x + 30 = 0$
Faktorkan persamaan kuadrat:
$(x - 3)(x - 10) = 0$

Maka, nilai $x$ yang mungkin adalah $x=3$ atau $x=10$.

Karena lebar kertas adalah 15 cm, maka $2x$ harus lebih kecil dari 15, sehingga $x < 7.5$. Oleh karena itu, $x=10$ tidak mungkin.
Nilai $x$ yang memenuhi adalah $x=3$ cm.

Sekarang, kita hitung volume maksimum dengan $x=3$ cm:
$V(3) = 4(3)^3 - 78(3)^2 + 360(3)$
$V(3) = 4(27) - 78(9) + 1080$
$V(3) = 108 - 702 + 1080$
$V(3) = 486$

Jadi, volume maksimum balok yang dapat dibentuk adalah 486 cm³.