Nilai dari lim->2 ((x-2) cos(pi x-2pi))/(tan(2pi x- 4pi) =

Nilai limit adalah 1/(2π).

Pembahasan

Soal ini meminta untuk menghitung nilai dari suatu limit yang melibatkan fungsi trigonometri.

Limit yang diberikan adalah:
lim (x->2) [ (x-2) cos(πx - 2π) / tan(2πx - 4π) ]

Substitusi langsung x = 2 ke dalam ekspresi:
Pembilang: (2-2) cos(π(2) - 2π) = 0 * cos(2π - 2π) = 0 * cos(0) = 0 * 1 = 0
Penyebut: tan(2π(2) - 4π) = tan(4π - 4π) = tan(0) = 0

Karena hasil substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu 0/0, kita perlu menggunakan metode lain, seperti aturan L'Hôpital atau manipulasi aljabar dengan identitas trigonometri.

Mari kita gunakan aturan L'Hôpital, yang menyatakan bahwa jika lim (x->c) f(x)/g(x) menghasilkan 0/0 atau ∞/∞, maka limitnya sama dengan lim (x->c) f'(x)/g'(x), asalkan limit turunan tersebut ada.

Misalkan f(x) = (x-2) cos(πx - 2π)
Misalkan g(x) = tan(2πx - 4π)

Cari turunan f(x) terhadap x (menggunakan aturan perkalian):
f'(x) = d/dx[(x-2)] * cos(πx - 2π) + (x-2) * d/dx[cos(πx - 2π)]
f'(x) = 1 * cos(πx - 2π) + (x-2) * [-sin(πx - 2π) * π]
f'(x) = cos(πx - 2π) - π(x-2) sin(πx - 2π)

Cari turunan g(x) terhadap x:
g'(x) = d/dx[tan(2πx - 4π)]
g'(x) = sec^2(2πx - 4π) * d/dx[2πx - 4π]
g'(x) = sec^2(2πx - 4π) * 2π

Sekarang, kita hitung limit dari f'(x)/g'(x) saat x mendekati 2:
lim (x->2) [ (cos(πx - 2π) - π(x-2) sin(πx - 2π)) / (2π sec^2(2πx - 4π)) ]

Substitusikan x = 2:
Pembilang: cos(π(2) - 2π) - π(2-2) sin(π(2) - 2π)
= cos(2π - 2π) - π(0) sin(2π - 2π)
= cos(0) - 0
= 1

Penyebut: 2π sec^2(2π(2) - 4π)
= 2π sec^2(4π - 4π)
= 2π sec^2(0)
= 2π (1 / cos(0))^2
= 2π (1 / 1)^2
= 2π (1)^2
= 2π

Jadi, limitnya adalah 1 / (2π).

Alternatif menggunakan identitas trigonometri:
Kita tahu bahwa tan(θ) = sin(θ)/cos(θ).
Ekspresi menjadi: [ (x-2) cos(πx - 2π) ] / [ sin(2πx - 4π) / cos(2πx - 4π) ]
= [ (x-2) cos(πx - 2π) cos(2πx - 4π) ] / sin(2πx - 4π)

Kita tahu cos(A - 2π) = cos(A) dan cos(2A - 4π) = cos(2A).
Juga, sin(2A - 4π) = sin(2A).

Jadi, ekspresi menjadi:
[ (x-2) cos(πx) cos(2πx) ] / sin(2πx)

Kita juga tahu bahwa cos(πx - 2π) = cos(-(2π - πx)) = cos(2π - πx) = cos(πx).
Dan sin(2πx - 4π) = sin(2πx).

Jadi, limitnya adalah:
lim (x->2) [ (x-2) cos(πx) cos(2πx) ] / sin(2πx)

Mari kita gunakan substitusi u = x - 2, sehingga x = u + 2.
Saat x -> 2, maka u -> 0.

Limit menjadi:
lim (u->0) [ u cos(π(u+2)) cos(2π(u+2)) ] / sin(2π(u+2))

Kita gunakan identitas:
cos(πu + 2π) = cos(πu)
cos(2πu + 4π) = cos(2πu)
sin(2πu + 4π) = sin(2πu)

Limit = lim (u->0) [ u cos(πu) cos(2πu) ] / sin(2πu)

Kita tahu bahwa lim (θ->0) sin(aθ)/ (aθ) = 1 dan lim (θ->0) cos(aθ) = 1.
Kita bisa menulis ulang ekspresi:
= lim (u->0) [ u * (cos(πu) cos(2πu)) / sin(2πu) ]
= lim (u->0) [ u * cos(πu) * cos(2πu) ] / [ (sin(2πu) / (2πu)) * 2πu ]
= lim (u->0) [ u * cos(πu) * cos(2πu) ] / [ 1 * 2πu ]
= lim (u->0) [ u * cos(πu) * cos(2πu) ] / [ 2πu ]

Batalkan 'u' di pembilang dan penyebut:
= lim (u->0) [ cos(πu) * cos(2πu) ] / (2π)

Sekarang substitusikan u = 0:
= [ cos(0) * cos(0) ] / (2π)
= [ 1 * 1 ] / (2π)
= 1 / (2π)

Kedua metode memberikan hasil yang sama.