Sebuah polinomial berderajat 3. Jika dibagi (x^2-3x + 2),

$P(x) = Ax^3 + x^2 - 7Ax + (6A+4)$

Pembahasan

Misalkan polinomial tersebut adalah $P(x)$.
Diketahui bahwa $P(x)$ berderajat 3.

1.  Jika $P(x)$ dibagi $(x^2-3x+2)$, sisanya adalah $3x+2$.
    $x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)$.
    Ini berarti:
    $P(x) = Q_1(x)(x-1)(x-2) + (3x+2)$
    Dari sini, kita bisa dapatkan:
    $P(1) = Q_1(1)(1-1)(1-2) + (3(1)+2) = 0 + 5 = 5$
    $P(2) = Q_1(2)(2-1)(2-2) + (3(2)+2) = 0 + 8 = 8$

2.  Jika $P(x)$ dibagi $(x+3)$, sisanya adalah $13$.
    Ini berarti:
    $P(x) = Q_2(x)(x+3) + 13$
    Dari sini, kita bisa dapatkan:
    $P(-3) = Q_2(-3)(-3+3) + 13 = 0 + 13 = 13$

Karena $P(x)$ berderajat 3, kita bisa menuliskannya dalam bentuk umum:
$P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$

Namun, cara yang lebih efisien adalah menggunakan bentuk yang melibatkan pembagi.
Karena $P(x)$ dibagi oleh $(x-1)(x-2)$, kita tahu bahwa $P(x)$ memiliki faktor terkait pembagian tersebut. Bentuk umum $P(x)$ bisa ditulis sebagai:
$P(x) = (x^2-3x+2)(Ax+B) + (3x+2)$
$P(x) = (x-1)(x-2)(Ax+B) + 3x+2$

Sekarang kita gunakan informasi dari pembagian dengan $(x+3)$:
$P(-3) = 13$
$(-3-1)(-3-2)(A(-3)+B) + 3(-3)+2 = 13$
$(-4)(-5)(-3A+B) - 9 + 2 = 13$
$20(-3A+B) - 7 = 13$
$20(-3A+B) = 20$
$-3A+B = 1$
$B = 3A + 1$

Sekarang kita gunakan informasi $P(1)=5$ dan $P(2)=8$ untuk memastikan konsistensi, meskipun $P(1)$ dan $P(2)$ sudah terpenuhi oleh bentuk $P(x) = (x-1)(x-2)(Ax+B) + 3x+2$.

Mari kita cari nilai A dan B. Kita belum memiliki cukup informasi untuk menentukan A dan B secara unik hanya dari dua kondisi pertama. Namun, kita tahu bahwa $A$ dan $B$ adalah koefisien dari bagian linear $(Ax+B)$ yang merupakan hasil bagi dari $P(x)$ dibagi $(x^2-3x+2)$. Karena $P(x)$ berderajat 3, maka hasil baginya $Q_1(x)$ harus berderajat 1, yaitu $Ax+B$.

Kita punya satu persamaan: $B = 3A+1$. Kita perlu satu persamaan lagi untuk menemukan A dan B. Sepertinya ada informasi yang kurang atau cara interpretasi yang berbeda.

Mari kita coba lagi dengan asumsi bahwa $A$ dan $B$ adalah konstanta yang akan kita tentukan.

$P(x) = (x^2-3x+2)(Ax+B) + 3x+2$
$P(x) = Ax^3 + Bx^2 - 3Ax^2 - 3Bx + 2Ax + 2B + 3x + 2$
$P(x) = Ax^3 + (B-3A)x^2 + (2A-3B+3)x + (2B+2)$

Kita gunakan $P(-3) = 13$:
$A(-3)^3 + (B-3A)(-3)^2 + (2A-3B+3)(-3) + (2B+2) = 13$
$-27A + (B-3A)(9) + (-6A+9B-9) + (2B+2) = 13$
$-27A + 9B - 27A - 6A + 9B - 9 + 2B + 2 = 13$
$(-27-27-6)A + (9+9+2)B - 7 = 13$
$-60A + 20B - 7 = 13$
$-60A + 20B = 20$
$-3A + B = 1$
$B = 3A + 1$

Ini adalah persamaan yang sama seperti sebelumnya. Ini berarti ada tak hingga banyaknya polinomial derajat 3 yang memenuhi dua kondisi pertama. Mungkin ada kesalahan dalam soal atau saya perlu menggunakan informasi derajat 3 secara lebih eksplisit.

Sebuah polinomial berderajat 3 yang dibagi oleh polinomial berderajat 2 akan menghasilkan hasil bagi berderajat 1. Jadi bentuk $P(x) = (x^2-3x+2)(Ax+B) + 3x+2$ sudah benar.

Mari kita periksa pilihan jawaban jika tersedia. Karena tidak ada pilihan, saya harus menemukan nilai A dan B.

Kemungkinan lain adalah, ada informasi implisit yang terlewat.

Mari kita coba menggunakan hubungan antara $P(1), P(2), P(-3)$ dengan bentuk $Ax+B$. Seringkali soal semacam ini dirancang agar $A$ dan $B$ mudah ditemukan.

Kembali ke:
$P(1) = 5$
$P(2) = 8$
$P(-3) = 13$

Jika kita lihat selisih nilai $P(x)$:
$P(2)-P(1) = 8-5 = 3$
$P(1)-P(-3) = 5-13 = -8$

Untuk $P(x) = (x-1)(x-2)(Ax+B) + 3x+2$

Mari kita jabarkan $P(x)$ kembali:
$P(x) = (x^2-3x+2)(Ax+B) + 3x+2$
$P(x) = Ax^3 + Bx^2 - 3Ax^2 - 3Bx + 2Ax + 2B + 3x + 2$
$P(x) = Ax^3 + (B-3A)x^2 + (2A-3B+3)x + (2B+2)$

Kita punya $B = 3A+1$.
Substitusikan $B$ ke dalam koefisien $P(x)$:
Koefisien $x^2$: $B-3A = (3A+1) - 3A = 1$
Koefisien $x$: $2A-3B+3 = 2A - 3(3A+1) + 3 = 2A - 9A - 3 + 3 = -7A$
Konstanta: $2B+2 = 2(3A+1) + 2 = 6A + 2 + 2 = 6A + 4$

Jadi, $P(x) = Ax^3 + 1x^2 - 7Ax + (6A+4)$.

Polinomial ini secara otomatis memenuhi $P(1)=5$, $P(2)=8$, dan $P(-3)=13$ untuk nilai $A$ berapapun, asalkan $B=3A+1$.

Contoh:
Jika $A=1$, maka $B=4$. $P(x) = x^3 + x^2 - 7x + 10$.
$P(1) = 1+1-7+10 = 5$. Benar.
$P(2) = 8+4-14+10 = 8$. Benar.
$P(-3) = -27 + 9 - (-21) + 10 = -27+9+21+10 = 13$. Benar.

Jika $A=2$, maka $B=7$. $P(x) = 2x^3 + x^2 - 14x + 16$.
$P(1) = 2+1-14+16 = 5$. Benar.
$P(2) = 16+4-28+16 = 8$. Benar.
$P(-3) = 2(-27) + 9 - 14(-3) + 16 = -54 + 9 + 42 + 16 = 13$. Benar.

Soal ini tampaknya memiliki solusi yang tidak tunggal, atau ada informasi tambahan yang harus digunakan.

Dalam konteks soal ujian, biasanya ada satu jawaban yang benar. Ini bisa berarti:
1.  Ada nilai $A$ standar yang diasumsikan (misalnya $A=1$ jika tidak ditentukan).
2.  Ada kesalahan dalam soal yang diberikan.
3.  Ada metode lain yang harus digunakan.

Mari kita pertimbangkan kembali bahwa polinomialnya berderajat 3. Bentuk $P(x) = (x^2-3x+2)(Ax+B) + 3x+2$ sudah mencakup polinomial berderajat 3.

Jika soal tersebut berasal dari sumber tertentu, mungkin ada konvensi. Jika tidak, dengan informasi yang ada, $A$ bisa berupa konstanta apapun. Namun, jika kita harus memilih satu jawaban, biasanya yang paling sederhana (misalnya, $A=1$).

Mari kita asumsikan $A=1$ dan $B=4$. Maka polinomialnya adalah:
$P(x) = x^3 + x^2 - 7x + 10$

**Jawaban Lengkap:** Polinomial tersebut adalah $P(x) = Ax^3 + x^2 - 7Ax + (6A+4)$, di mana $A$ adalah konstanta sembarang. Jika diasumsikan $A=1$, maka polinomialnya adalah $x^3 + x^2 - 7x + 10$.