Persamaan garis yang tegak lurus dengan garis singgung

Persamaan garisnya adalah $x + 2y - 2 - \frac{\pi}{4} = 0$.

Pembahasan

Untuk mencari persamaan garis yang tegak lurus dengan garis singgung kurva $y = \tan x$ di titik $(\frac{\pi}{4}, 1)$, kita perlu mencari gradien garis singgung terlebih dahulu, kemudian gradien garis yang tegak lurus dengannya.

1. Cari gradien garis singgung:
Gradien garis singgung kurva diberikan oleh turunan pertama dari fungsi tersebut. Turunan dari $y = \tan x$ adalah $\frac{dy}{dx} = \sec^2 x$.
Kita evaluasi turunan di titik $x = \frac{\pi}{4}$:
$m_{singgung} = \sec^2(\frac{\pi}{4})$
Kita tahu $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$, sehingga $\sec(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}$.
$m_{singgung} = (\sqrt{2})^2 = 2$.

2. Cari gradien garis yang tegak lurus:
Jika dua garis tegak lurus, hasil kali gradiennya adalah -1. Misalkan gradien garis yang kita cari adalah $m_{garis}$.
$m_{garis} \times m_{singgung} = -1$
$m_{garis} \times 2 = -1$
$m_{garis} = -\frac{1}{2}$.

3. Cari persamaan garis:
Kita memiliki gradien ($m_{garis} = -\frac{1}{2}$) dan titik yang dilalui garis tersebut, yaitu titik singgung $(\frac{\pi}{4}, 1)$. Kita gunakan rumus persamaan garis $y - y_1 = m(x - x_1)$:
$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{4})$
Kalikan kedua sisi dengan 2:
$2(y - 1) = -(x - \frac{\pi}{4})$
$2y - 2 = -x + \frac{\pi}{4}$
Pindahkan semua suku ke satu sisi:
$x + 2y - 2 - \frac{\pi}{4} = 0$
Atau, persamaan garisnya adalah $y = -\frac{1}{2}x + 1 + \frac{\pi}{8}$.

Jadi, persamaan garis yang tegak lurus dengan garis singgung kurva $y = \tan x$ di titik $(\frac{\pi}{4}, 1)$ adalah $x + 2y - 2 - \frac{\pi}{4} = 0$ atau bentuk lainnya.