Sebuah toko makanan menyediakan es krim dengan 6 rasa

Banyak cara memilih 5 es krim dengan 3 rasa berbeda dari 6 rasa adalah 120 cara.

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan kombinasi, di mana kita memilih beberapa item dari kelompok yang lebih besar tanpa memperhatikan urutan.

Soal: Sebuah toko makanan menyediakan es krim dengan 6 rasa berbeda. Banyak cara seseorang pembeli dapat memilih 5 es krim dengan 3 rasa berbeda adalah ...

Ini adalah masalah kombinasi dengan pengulangan (kombinasi multiset).
Kita ingin memilih 5 es krim dari 6 rasa yang tersedia, di mana rasa bisa berulang, dan kita ingin memastikan bahwa ada tepat 3 rasa berbeda yang terpilih.

Langkah 1: Pilih 3 rasa yang berbeda dari 6 rasa yang tersedia.
Ini adalah kombinasi C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)
Jumlah cara memilih 3 rasa dari 6 rasa = C(6, 3) = 6! / (3! * (6-3)!) = 6! / (3! * 3!) = (6 * 5 * 4) / (3 * 2 * 1) = 20 cara.

Langkah 2: Dari 3 rasa yang sudah dipilih, kita perlu memilih 5 es krim sehingga ketiga rasa tersebut terwakili.
Ini berarti kita perlu mendistribusikan 5 es krim ke dalam 3 kategori rasa yang berbeda, dengan setiap kategori harus memiliki setidaknya satu es krim.

Misalkan jumlah es krim dari rasa 1, rasa 2, dan rasa 3 adalah $x_1, x_2, x_3$. Kita ingin menyelesaikan persamaan:
$x_1 + x_2 + x_3 = 5$, dengan syarat $x_1 \ge 1, x_2 \ge 1, x_3 \ge 1$.

Untuk menyelesaikan ini, kita bisa menggunakan metode bintang dan batang (stars and bars). Pertama, kita berikan masing-masing satu es krim ke setiap rasa, sehingga tersisa $5 - 3 = 2$ es krim yang perlu didistribusikan.
Sekarang kita perlu mendistribusikan 2 es krim ke dalam 3 kategori rasa, di mana setiap kategori bisa mendapatkan 0 atau lebih es krim.
Persamaan menjadi: $y_1 + y_2 + y_3 = 2$, di mana $y_i = x_i - 1$ dan $y_i \ge 0$.

Jumlah cara mendistribusikan k item ke n kategori dengan pengulangan adalah C(n+k-1, k).
Di sini, k = 2 (es krim yang tersisa) dan n = 3 (rasa).
Jadi, jumlah cara = C(3 + 2 - 1, 2) = C(4, 2) = 4! / (2! * 2!) = (4 * 3) / (2 * 1) = 6 cara.

Cara-cara pembagian 5 es krim ke 3 rasa yang berbeda (dengan syarat setiap rasa minimal 1) adalah:
(3, 1, 1) - ada 3 permutasi (rasa mana yang 3)
(2, 2, 1) - ada 3 permutasi (rasa mana yang 1)
Total = 3 + 3 = 6 cara.

Langkah 3: Kalikan hasil dari Langkah 1 dan Langkah 2.
Total cara = (Cara memilih 3 rasa) * (Cara memilih 5 es krim dari 3 rasa tersebut)
Total cara = 20 * 6 = 120 cara.

Jadi, banyak cara seseorang pembeli dapat memilih 5 es krim dengan 3 rasa berbeda adalah 120 cara.