Sebuah uang logam setimbang dilemparkan 5 kali. Tentukan

Distribusi probabilitas P(X=k) = C(5, k) * (2/3)^k * (1/3)^(5-k) untuk k=0,1,2,3,4,5.

Pembahasan

Misalkan G adalah kejadian muncul sisi gambar dan A adalah kejadian muncul sisi angka pada pelemparan satu uang logam.
Diketahui uang logam setimbang, sehingga P(G) = P(A) = 1/2 jika tidak ada informasi tambahan.
Namun, soal menyatakan bahwa sisi gambar berkemungkinan muncul dua kali lebih besar daripada sisi angka. Ini berarti:
P(G) = 2 * P(A)

Kita juga tahu bahwa jumlah probabilitas untuk semua kemungkinan hasil harus sama dengan 1:
P(G) + P(A) = 1

Substitusikan P(G) = 2 * P(A) ke dalam persamaan kedua:
(2 * P(A)) + P(A) = 1
3 * P(A) = 1
P(A) = 1/3

Sekarang kita bisa mencari P(G):
P(G) = 2 * P(A)
P(G) = 2 * (1/3)
P(G) = 2/3

Jadi, probabilitas muncul sisi gambar adalah 2/3 dan sisi angka adalah 1/3.

Uang logam dilemparkan 5 kali. Kita ingin mencari distribusi probabilitas di mana sisi gambar (G) muncul dua kali lebih besar daripada sisi angka (A).
Ini adalah skenario percobaan Bernoulli yang dimodifikasi atau bisa dianggap sebagai distribusi binomial dengan parameter yang disesuaikan.

Misalkan X adalah jumlah kemunculan sisi gambar dalam 5 kali pelemparan.
Karena P(G) = 2/3, maka probabilitas sukses (muncul gambar) adalah p = 2/3, dan probabilitas gagal (muncul angka) adalah q = 1 - p = 1 - 2/3 = 1/3.
Jumlah percobaan adalah n = 5.

Distribusi probabilitas untuk X (jumlah sisi gambar) diberikan oleh rumus binomial:
P(X=k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k)

Di mana:
n = 5 (jumlah pelemparan)
k = jumlah kemunculan sisi gambar (bisa 0, 1, 2, 3, 4, 5)
p = 2/3 (probabilitas muncul sisi gambar)
q = 1/3 (probabilitas muncul sisi angka)
C(n, k) adalah koefisien binomial "n pilih k", yang dihitung sebagai n! / (k! * (n-k)!).

Menghitung P(X=k) untuk setiap nilai k:

*   P(X=0) = C(5, 0) * (2/3)^0 * (1/3)^5 = 1 * 1 * (1/243) = 1/243
*   P(X=1) = C(5, 1) * (2/3)^1 * (1/3)^4 = 5 * (2/3) * (1/81) = 10/243
*   P(X=2) = C(5, 2) * (2/3)^2 * (1/3)^3 = 10 * (4/9) * (1/27) = 40/243
*   P(X=3) = C(5, 3) * (2/3)^3 * (1/3)^2 = 10 * (8/27) * (1/9) = 80/243
*   P(X=4) = C(5, 4) * (2/3)^4 * (1/3)^1 = 5 * (16/81) * (1/3) = 80/243
*   P(X=5) = C(5, 5) * (2/3)^5 * (1/3)^0 = 1 * (32/243) * 1 = 32/243

Distribusi probabilitasnya adalah:
P(X=0) = 1/243
P(X=1) = 10/243
P(X=2) = 40/243
P(X=3) = 80/243
P(X=4) = 80/243
P(X=5) = 32/243

(Catatan: Penjumlahan semua probabilitas ini adalah (1+10+40+80+80+32)/243 = 243/243 = 1, yang memverifikasi perhitungan.)